Lösung von Aufgabe 4.3 S (SoSe 12)
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Version vom 13. Mai 2012, 18:55 Uhr von Nummero6 (Diskussion | Beiträge)
Aufgabe 4.3
Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.
- Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien
,
und
drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn
,
und
… , dann … .“
- Beweisen Sie Satz I indirekt mit Widerspruch.
- Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
- Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
- Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
- Gilt auch die Umkehrung von Satz I?
Lösungsvorschlag 1:
1.) „Wenn ,
und
nicht kollinear sind, dann sind sie paarweise verschieden.“
2.)
Voraussetzung: nkoll (A,B,C)
Behauptung: A,B und C sind paarweise verschieden
Annahme: 2 Punkte sind nicht paarweise verschieden (Widerspruch zur Behauptung..)
Beweisschritt | Begründung | |
---|---|---|
(1) | ![]() |
Voraussetzung |
(2) | oBdA: ![]() ![]() |
Annahme |
(3) | ![]() |
(2), Axiom I/1 |
(4) | ![]() |
(3), Def. kollinear |
(5) | Widerspruch zur Voraussetzung | (4), (1) |
(6) | Behauptung stimmt | (5) |
3.) „Wenn ,
und
nicht paarweise verschieden sind, dann sind sie kollinear.“
5.) „Wenn ,
und
paarweise verschieden sind, dann sind sie nicht kollinear.“ --Tchu Tcha Tcha 15:39, 13. Mai 2012 (CEST)