Lösung von Aufgabe 5.1 S (SoSe 12)
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Version vom 17. Mai 2012, 19:05 Uhr von *m.g.* (Diskussion | Beiträge)
Die Aufgabe
Satz:
- Von drei paarweise verschiedenen Punkten
und
ein und derselben Geraden
liegt genau einer zwischen den beiden anderen.
- Von drei paarweise verschiedenen Punkten
Beweisen Sie diesen Satz.
Lösungsvorschlag 1
Vor.: koll(A,B,C) und liegen auf einer Geraden g Beh.: |AB| + |BC| = |AC| Ann.: Zw(A,B,C)Zw(C,B,A)
A,B,C
g
dir.Bew.: Zw(A,B,C) |AB| + |BC| = |AC| |CB| + |BA| = |CA|Zw(A,B,C)
koll(A,B,C)
A,B,C
g
Der Satz stimmt: B liegt zwischen A und C --Gilmore 18:34, 17. Mai 2012 (CEST)
Kommentar zu Lösungsvorschlag 1 von --*m.g.* 18:48, 17. Mai 2012 (CEST)
bedeutet, dass die drei Punkte auf ein und derselben Geraden liegen, alles was hinter dem und kommt ist somit "doppelt gemoppelt", also weglassen.
- Die Behauptung:
spiegelt die Aussage des Satzes nicht korrekt wider:
- Der Satz hat eigentlich zwei Behauptungen:
- Überhaupt einer der drei kollinearen Punkte liegt zwischen den beiden anderen (Existenz),
- Kein weiterer Punkt liegt zwischen den beiden anderen. Konkreter: Wenn wir etwa mit
den Punkt gefunden hätten der von den drei Punkten zwischen den beiden anderen (also in diesem Fall zwischen
und
) liegt, dann liegt weder
zwischen
und
noch
zwischen
und
(Eindeutigkeit).