Übung Aufgaben 6 P (SoSe 12)

Aufgabe 6.1

Beweisen Sie: Aus $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$ folgt $\operatorname{koll} \left( A, B, C \right)$.

Lösung von Aufgabe 6.1P (SoSe_12)

Ich kann nicht verstehen, ob die Kollineation mit Vektoren zusammenhängt und ob bei der Kollineationsdefinition alle drei Gleichungen erfüllt sein müssen oder nur noch eins davon: /AB/ + /BC/= /AC/ /AC/ +/CB/ = /AB/ /BA/ + /AC/ = /BC/

Anders gesagt was ist damit gemeint: /AB/ + /BC/= /AC/ die Länge der Strecke AC?

Aufgabe 6.2

Beweisen Sie: Es sei $\operatorname{koll} \left( A, B, C \right)$ mit $\ A, B, C$ sind paarweise verschieden.
Dann gilt genau eine der folgenden Zwischenrelationen: $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$ oder $\operatorname{Zw} \left( A, C, B \right)$ oder $\operatorname{Zw} \left( B, A, C \right)$.

Lösung von Aufgabe 6.2P (SoSe_12)

Aufgabe 6.3

Es seien A und B zwei verschiedene Punkte. Welche Ergebnisse erzielen Sie nach den folgenden Mengenoperationen?

a) $\ AB^{+} \cap BA^{+} =$

b) $\ AB^{-} \cap BA^{-} =$

c) $\ AB$ geschnitten mit dem Kreis um $\ A$ durch $\ B$ =

d)$\ AB \cap BA =$

Lösung von Aufgabe 6.3P (SoSe_12)

Aufgabe 6.4

Beweisen Sie den Satz von Pasch. Verwenden Sie für den Beweis die Definition von Halbebenen und gehen Sie davon aus, dass jede Ebene in genau zwei Halbebenen geteilt werden kann.
Lösung von Aufgabe 6.4P (SoSe_12)

Aufgabe 6.5

Gegeben seien drei paarweise verschiedene und kollineare Punkte A, B und C in einer Ebene E. Ferner sei eine Gerade g Teilmenge der Ebene E, wobei keiner der Punkte A, B und C auf g liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang:

$\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace \Rightarrow \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace$

Lösung von Aufgabe 6.5P (SoSe_12)