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Inhaltsverzeichnis |
Ideen zur Heranführung an die Geradenspiegelung
Idee der Symmetrie
Die Applikation wurde im WS 2010/11 von tutorin Anne generiert.
Verwendung eines halbdurchlässigen Spiegels
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Falten
Leider sind meine Bilder von der Qualität her zu schlecht geworden, als dass sie hier veröffentlicht werden könnten. Wer hilft? --*m.g.* 13:04, 27. Okt. 2011 (CEST)
Konstruktion des Bildes eines Punktes
bei einer Spiegelung an der Geraden ![\ g](/images/math/4/d/5/4d5f9a9c0c66d9c6a2d8c9bcb870360b.png)
Reduktion der großen Idee Geradenspiegelung auf: Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer Geradenspiegelung
Übungsaufgabe:
Es sei ein Punkt der Ebene der nicht zur Geraden
dieser Ebene gehört.
Erstellen Sie eine Konstruktionsbeschreibung für die Konstruktion des Bildes von
bei der Spiegelung an
. Begründen Sie jeweils die Korrektheit eines jeden Ihrer Konstruktionsschritte.
Nr. | Beschreibung des Schrittes | Genauere Beschreibung | Begründung der Korrektheit des Schrittes |
---|---|---|---|
1. | ... | ... | ... |
2. | ... | ... | ... |
3. | ... | ... | ... |
Bemerkung zum Nachweis der Korrektheit des jeweiligen Schrittes: Gemeint ist eine Begründung, aus der hervorgeht, dass der jeweilige Schritt (ggf. eindeutig) ausführbar ist.
Definition des Begriffs
Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden
)
- Es sei
eine Gerade. Unter der Spiegelung
an der Geraden
versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, ...
- Es sei
Die Geradenspiegelung als spezielle Bewegung
Satz 2.1: (Abstandserhaltung von Geradenspiegelungen)
- Jede Geradenspiegelung
ist eine abstandserhaltende Abbildung.
- Jede Geradenspiegelung
Beweis von Satz 2.1:
Es seien ,
zwei Punkte, die an einer Geraden
auf ihre Bilder
und
gespiegelt werden.
Wir unterscheiden drei Fälle:
Fall 1
Beweis:
Fall 2
,
Beweis:
Den Schnittpunkt von mit
bezeichnen wir mit
Zunächst eine Skizze zum 'spielen': Bewege Punkt B nach belieben.
Zu zeigen: |AB| = |AB'|
Direkter Beweis
Fall I: : Nach Definition Mittelsenkrechten und Bild eines Punktes bei einer Geradenspiegelung ist dieser Fall bewiesen.
Fall II:
Nach der Definition Bild eines Punktes bei einer Geradenspiegelung und Defintion Geradenspiegelung ist g die Mittelsenkrechte von
Daraus folgt: |BL| = |LB'|
A und L liegen auf g, danach gilt nach der Reflexivität von '=', das |AL| = |AL|
Da das Mittelsenkrechtenkriterium einen Winkel von 90 vorschreibt, sind auch die beiden Winkel und
kongruent zueinander.
Nach SWS, der Definition von Kongruenz und den drei vorherigen Beweisschritten ist klar, dass |AB| = |AB'| ist.
Wirtschaftlicher wäre der Beweis mit dem Mittelsenkrechtenkriterium zu führen, dort hätte man nur einen Beweisschritt. --Flo60 21:17, 31. Okt. 2011 (CET)
Fall 3
,
und
liegen in derselben Halbebene bezüglich
Beweis:
Sei und
nach Definition der Gradespiegelung ist g Mittelsenkrechte von
sind Mittelpunkt der Strecken
Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\box“): \Rightarrow \left| AL_a \right| = \left| A'L_a \right| \wedge \left| BL_b \right| = \left| B'L_b \right|\box
Ferner gilt da g Mittelsenkrechte ist Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\box“): |\angle L_bL_aA'|=|\angle AL_aL_b|=90\box \box
Trivialerweise gilt Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\box“): \left| L_aL_b \right| = \left| L_aL_b \right|\box \box \box
Aus Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\box“): \box ,\box \box ,\box \box \box , SWS \Rightarrow \overline{A'L_aL_b}\equiv \overline{AL_aL_b} \Rightarrow \left| A'L_b \right| = \left| AL_b \right| \wedge \angle A'L_bL_a\equiv \angle L_aL_bA \Rightarrow \angle B'L_bA'\equiv \angle AL_bB
Nun gilt:
--Peterpummel 19:42, 7. Nov. 2011 (CET)
Fall 4
,
und
liegen in verschiedenen Halbebenen bezüglich
Beweis
Leitgedanke:
Die beiden Dreiecke BB'C und AA'C sind gleichschenklig (trivial)
Es gibt den Schnittpunkt C = AB geschnitten A'B', wegen A und B befinden sich in verschiedenen Halbebenen + wäre wenn nicht widerspruch zur gleischenkligkeit (mittelsenkrechtenkriterium)
und daraus würde dann die Gleichheit folgen.
müsste noch ausformuliert werden.
--Peterpummel 22:23, 7. Nov. 2011 (CET)
Eindeutige Bestimmtheit von Geradenspiegelungen
Bestimmung über die Spiegelgerade
Unmittelbar einsichtig ist der folgende Satz:
Satz 2.2
- Jede Geradenspiegelung ist durch die Angabe ihrer Spiegelachse eindeutig bestimmt.
- Jede Geradenspiegelung ist durch die Angabe ihrer Spiegelachse eindeutig bestimmt.
Der Beweis kann direkt geführt werden, da er dem Beweis der Eindeutigkeit des Mittelpunktes nachgeht. Nehmen wir aber dennoch an, es gibt eine zweite Spiegelgerade f, mit f g.
Es seien P ein Punkt und P' das Bild des Punktes P. P' entstand durch Spiegelung an g.
Der Schnittpunkt von sei L.
Nach der Definition der Geradenspiegelung (bzw. Bild eines Punktes bei der Spiegelung) ist nun L Mittelpunkt von .
Da der Mittelpunkt einer Strecke eindeutig ist, muss nun gelten, dass f ebenfalls durch L verläuft und senkrecht ist. Da aber nach dem Winkelkonstruktionsaxiom nur ein Winkel mit dem Maß 90 existiert, muss f g sein, was ein Widerspruch zu unserer Annahme ist. --Flo60 21:29, 31. Okt. 2011 (CET)
Satz 2.3
- Eine Geradenspiegelung
ist durch die Angabe eines Punktes
und dem Bild von
eindeutig bestimmt, falls
gilt.
- Eine Geradenspiegelung