Diskussion:Lösung von Aufgabe 8.1
Lösungsvorschlag:
Vss.: gQ+ , gQ- , R Element gQ- und R e gR+mit R nicht Element g Beh.: gR+ = gQ- und gR- = gQ+
(1) R e gQ- n. Vss
(2) Strecke RQ geschnitten g ist nicht = {} (1), n.Def. Halbebene
(3) Es sei P ein Punkt e gQ-
(4) Fall 1: nkoll(P, Q, R)
(5) Strecke PQ geschnitten g ist nicht = {} n. Def. Halbebene, (3)
(6) Strecke PR geschnitten g = {} n. Axiom III/2, (2),(4),(5)
(7) gR+:{P/Strecke RP geschnitten mit g ={}} n. Def. Halbebene
(8) R e gR+ und P e gR+ (6),(7)
(9) R e gQ- und R e gR+
und P e gQ- und P e gR+ (1),(2),(3)
(10) gR+ = gQ- (9)
(11) Fall 2: koll (P, Q, R)
(12) Es gilt eine der drei möglcihen Zwischenrelationen:
zw (P,Q,R) oder zw (Q,P,R) oder zw (P,R,Q) Axiom II/3, Def. Zwischenrelation
(13) zw (P,Q,R) -> Widerspruch zu (3), dass P e gQ- (14) zw (Q,P,R) -> Strecke QP ist Teilmenge von Strecke QR -> Wenn Strecke QR geschnitten g ist nicht = {},
dann auch Strecke QP geschnitten g ist nicht = {} n. Vss, Def. Teilmenge
(15) zw (P,R,Q) -> Strecke PR vereinigt mit Strecke RQ = Strecke PQ -> Wenn Strecke RQ geschnitten mit g ist nicht = {},
dann auch Strecke QP geschnitten g ist nicht = {} n.Vss.,Def.Vereinungungsmenge
(16) Strecke RQ geschnitten g ist nicht = {}
und Strecke PQ geschnitten g ist nicht = {} n. Vss.,(14),(15)
(17) P und Q liegen in derselben Halbebene (16) (18) R e gQ- und R e gR+
und P e gQ- und P e gR+ n. Vss.,(17)
(19) gQ- = gR+ (18)
Jetzt wäre noch zu zeigen, dass qQ+ = gR-
Stimmt das so?