Übung 2

Faltkonstruktion der Parabel

Normalparabel

Es sei $p=\frac{1}{2}$, $F=\left(0,\frac{p}{2}\right)$.
Die Gerade $l$ sei durch die Gleichung $y=-\frac{p}{2}$ gegeben.
$L=\left(x,-\frac{p}{2}\right)$ sei ein beliebiger Punkt auf $l$.
Der Punkt $P$ sei der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten $m$ von $\overline{LF}$ mit der in $L$ auf $l$ errichteten Senkrechten $s$.

Aufgabe 1

Man beweise: $m$ ist Tangente an die Normalparabel $y(x)=x^2$ in $P$.

Aufgabe 2

Man beweise: $|FP|=|Pl|$.

Aufgabe 3

Gegeben sei der Punkt $K\left(x_k,y_k\right)$. Man beweise:
$y_k=x_k^2 \Rightarrow |FK|=|Kl|$

Parabel: $y(x)=ax^2$

Aufgabe 4

Die Lösung der Aufgaben 2 und 3 hätte sich nicht zwangsläufig auf die Normalparabel beziehen müssen. Formulieren Sie eine Definition für den Begriff Parabel:

Definition

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Parabel
Es seien $l$ eine Gerade und $F$ ein Punkt außerhalb von $l$. Unter der Parabel mit der Leitgeraden $l$ und dem Brennpunkt $F$ versteht man die Menge aller Punkte $P$ mit ... .

Aufgabe 5

Der Brennpunkt $F$ einer Parabel mit der Funktionsgleichung $y(x)=ax^2, a \in \mathbb{R}$ habe zur Leitgeraden $l$ den Abstand $p$. Man drücke $a$ mittels $p$ aus.

Aufgabe 6

Gegeben sei die Parabel $p$ durch $y(x)=ax^2, a \in \mathbb{R}, a \not= 0$. Man beweise: ein zur y-Achse paralleler Lichtstrahl $w$, der von innen auf $p$ trifft, wird so reflektiert, dass er durch den Brennpunkt $F$ von $p$ geht.