Was ist eine Gruppe? SoSe 2017

Beispiele für Gruppen endliche Gruppen Die Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks Die Gruppe der Deckabbildungen der Raute unendliche Gruppen Gebrochene Zahlen: $[\mathbb{Q}^+, \cdot ]$ Ganze Zahlen: $[\mathbb{Z}, +]$ Gegenbeispiele für Gruppen Test_02 Gruppendefinitionen Die "übliche" Gruppendefinition (lange Version) Definition 1a: (Gruppe Langfassung) Es sei $G$ eine nichtleere Menge auf der eine Verknüpfung $\odot$. Wenn die folgenden Axiome erfüllt sind, heißt die Struktur $\mathbb{G}:=[G, \odot ]$ Gruppe: $\odot$ ist auf $G$ abgeschlossen: $\forall a,b \in G: a \odot b \in G$ $\odot$ ist assoziativ auf $G$: $\forall a, b, c \in G: (a \odot b) \odot c = a \odot (b \odot c)$ Bezüglich $\odot$ existiert in $G$ ein ("universelles") Einslement $e$: $\exist e \in G \forall a \in G: a \odot e = e \odot a= a$. Bezüglich $\odot$ existiert zu jedem $a$ aus $G$ ein ("persönliches") inverses Element $a^{-1}$: $\forall a \in G \exist a^{-1} \in G: a \odot a^{-1} = a^{-1} \odot a = e$. Die "übliche" Gruppendefinition (kurze Version) Definition 1b: (Gruppe, Kurzfassung) Es sei $G$ eine nichtleere Menge auf der eine Verknüpfung $\odot$. Wenn die folgenden Axiome erfüllt sind, heißt die Struktur $\mathbb{G}:=[G, \odot ]$ Gruppe: $\odot$ ist auf $G$ abgeschlossen: $\forall a,b \in G: a \odot b \in G$ $\odot$ ist assoziativ auf $G$: $\forall a, b, c \in G: (a \odot b) \odot c = a \odot (b \odot c)$ Bezüglich $\odot$ existiert in $G$ ein ("universelles") Einslement $e$: $\exist e \in G \forall a \in G: e \odot a= a$. Bezüglich $\odot$ existiert zu jedem $a$ aus $G$ ein ("persönliches") inverses Element $a^{-1}$: $\forall a \in G \exist a^{-1} \in G: a^{-1} \odot a = e$. Halbgruppe Eine nichtleere Menge $H$ auf der eine Verknüpfung $\odot$ definiert ist, heißt Halbgruppe, wenn $\odot$ abgeschlossen auf $H$ und assoziativ ist. Monoid Eine Halbgruppe mit Einselement heißt Monoid. Das Linkseinslement ist auch Rechtseinslement Die lange Version der Gruppendefinition fordert, dass wenn das Einselement $e$ sowohl rechtsseitig als auch linksseitig multipliziert mit einem beliebigen Gruppenelement $a$ multipliziert eben dieses Element $a$ das Ergebnis dieser Multiplikation ist. Die kurze Version der Gruppendefinition fordert nur die Existenz eines linksseitigen Einslementes. In der Tat ist die Korrektheit der Gruppendefinition gewährleistet, wenn die Existenz des Einselementes nur linksseitig (oder rechtsseitig) gefordert wird. Gleiches gilt für die Forderung nach der Existenz linksseitiger bzw. rechtsseitiger inverser Elemente. Es gilt der Satz: Satz 1 Wenn in einer Halbgruppe ein linksseitiges Einselement und zu jedem Element der Halbgruppe ein linksseitiges inverses Element existiert, so sind dieses Linkseinselement und diese Linksinversen gleichzeitig Rechtseinselement und Rechtsinverse. Beweis von Satz 1 Übungsaufgabe, Hinweise Beginnen Sie mit Linksinvers=Rechtsinvers Multiplizieren Sie zunächst das Linksinverse $g^{-1}$ eines beliebigen Elementes $g$ von rechts mit $g$:$g \odot g^{-1}$ Ersetzen Sie $g$ durch $e \odot g$ Ersetzen Sie $e$ durch das Produkt des Linksinversen vom Linksinversen von $g$ mit dem Linksinversen von $g$: $(g^{-1})^{-1} \odot g^{-1}$. Der Rest ist geschicktes Klammern und Ausnutzung der Assoziativität...