Beispiele, Gegenbeispiele
Beispiel 1
Wir gehen von der additiven Gruppe der Restklassen modulo 6 aus .
Die Gruppe besteht aus den folgenden Restklassen: ![\mathbb{Z}_6=\{ \overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4}, \overline{5} \}](/images/math/1/9/4/194951f40ff28ab9beaa9cf315261bf2.png)
Die Gruppentafel sieht wie folgt aus:
Wir wählen aus die folgende Teilmenge aus:
![2\mathbb{Z}_6:=\{\overline{0}, \overline{2}, \overline{4}\}](/images/math/e/7/b/e7bface779dd707b7ecf8893cfde854c.png)
ist eine Gruppe und damit eine Untergruppe von
Beispiel 2
Die Gruppe der Bewegungen
Die Gruppenmitglieder
Unter einer Bewegung versteht man eine abstandserhaltende Abbildung der Ebene auf sich:
Es sei unsere Ebene.
ist Relation
![\forall P \in \varepsilon \exist P' \in \varepsilon: P'=\beta(P)](/images/math/e/a/e/eaec695d85291ee6ab52e6802db76e68.png)
ist eindeutig und damit Abbildung
![\forall P \in \varepsilon: P'=\beta(P) \land P^*=\beta(P) \Rightarrow P'=P^*](/images/math/c/a/1/ca1f48750a09c8f21bd04217aa6b8261.png)
ist abstandserhaltend
![\forall P, Q \in \varepsilon: \vert PQ \vert = \vert \beta(P) \beta(Q)\vert](/images/math/e/0/6/e0676083d22f7a905a74e1f3a2d97be9.png)
Die Menge aller Bewegungen wollen wir mit bezeichnen.
Die Verknüpfung
wir wählen als Verknüpfung auf die NAF von Abbildungen und kennzeichnen diese mit .
ist Gruppe
Abgeschlossenheit
Es seien und zwei Bewegungen.
Wir haben zu zeigen, dass eine Bewegung ist.
Da die NAF zweier Abbildungen immer eine Abbildung ist, müssen wir nur zeigen dass abstandserhaltend ist:
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