Lösung von Aufgabe 12.6
Beweisen Sie: Wenn ein Punkt außerhalb der Geraden
ist, dann gibt es eine Gerade
, die durch
geht und parellel zu
ist.
Versuch 1
VSS: Punkt , Gerade
,
Beh: Gerade ,
,
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | ![]() ![]() |
(Axiom I.0) |
(II) | Gerade ![]() |
(Axiom I.1) |
(III) | das Maß von ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
(Winkelkonstruktionsaxiom), (Winkelmaßaxiom), (I), (II) |
(IV) | ![]() |
(III), (Def. Stufenwinkel) |
(V) | ![]() ![]() |
(Axiom I.1) |
(V) | ![]() |
(Umkehrung Stufenwinkelsatz), (IV), (V) |
--> Beh ist wahr.
--Löwenzahn 11:07, 14. Jul. 2010 (UTC)
Versuch 2
Mal wieder formlos: folgender Vorschlag:
Zu beweisen sind Existenz und Eindeutigkeit.
Die Gerade h, die durch den Punkt P geht kann sich zu g auf drei Arten verhalten:
- Fall: ist identisch => Widerspruch zur Voraussetzung
- Fall: schneidet h
- Fall: ist parallel zu h, also schnittpunktfrei
Fall 2 und 3 sind laut Vor. möglich, also existiert auf jeden Fall eine parallele Gerade.
Die Eindeutigkeit beweise ich indirekt.
Annahme: Es gibt genau zwei Parallelen durch P, die zu g parallel stehen, nämlich h und i, die nicht identisch sind.
(1) P ist sowohl Element von h, als auch von i. Die Geraden h und i sind damit identisch (Widerspruch Annahme) oder P ist ihr Schnittpunkt. Damit sind i und h aber nicht zueinander parallel (da nicht schnittpunktfrei). Parallelität ist transitiv. Wenn h und i nicht parallel sind, dann gilt entweder h parallel zu g oder i parallel zu g. Damit gibt es wieder nur eine Gerade durch P, die zu g parallel ist und nicht zwei.
--Nicola 15:49, 14. Jul. 2010 (UTC)