Lösung von Aufgabe 12.4
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Version vom 20. Juli 2010, 12:28 Uhr von Heinzvaneugen (Diskussion | Beiträge)
Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt auf eine Gerade .
Existenz
Voraussetzung: Gerade , Punkt
Behauptung: Es existiert ein Lot von auf mit Lotfußpunkt
Analoge Behauptung (Definition von Lot) Es existiert eine Senkrechte auf , die durch geht.
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | Es existiert ein Punkt , der Abstand zu P beträgt | Axiom I/1 (Axiom von der Geraden), Axiom III.1 (Axiom vom Lineal) |
(II) | Am Scheitelpunkt wird an der Gerade der Winkel in die Halbebene abgetragen. | Winkelkonstruktionsaxiom |
(III) | IN ARBEIT: Strecke AP auf neuer Geraden antragen | |
(IV) | IN ARBEIT: Gerade PP' schneidet g in L | |
(V) | IN ARBEIT: zwei kongruente Dreiecke - SWS | |
(VI) | IN ARBEIT: Winkel an L sind Nebenwinkel und kongruent --> rechte Winkel | |
(VII) | IN ARBEIT: Gerade PL steht senkrecht auf g --> PL ist Lotgerade, Strecke PL ist Lot(strecke) |
Kleine Anmerkung: Bei Schritt (II) muss man an sich auch definieren, dass der Winkel bezüglich in der selben Halbebene liegt. An dieser Stelle wurde es wg. besserer Übersicht weggelassen.
Eindeutigkeit
Voraussetzung: Gerade , Punkt , Lot von auf mit Lotfußpunkt
Behauptung: Es existiert genau ein Lot von auf .
Indirekter Beweis - Annahme: Es existieren zwei "Lote" von auf .
Annahme: Es existiert ein zweiter Lotfußpunkt
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | Es existiert ein Dreieck | VSS, Punkte sind nicht kollinear, da laut Definition Lot und Lotfußpunkt. |
(II) | Annahme, ist Lotfußpunkt | |
(III) | VSS, ist Lotfußpunkt | |
(IV) | Außenwinkel von | Supplementaxiom |
(V) | Außenwinkel von
|
Schwacher Außenwinkelsatz |
(VI) | Annahme muss verworfen werden | Widerspruch zwischen (V) und (III) !!! |
--Heinzvaneugen 00:27, 13. Jul. 2010 (UTC)