Übungsaufgaben 3 EG WS2010
Alle Aufgaben beziehen sich auf die ebene Geometrie.
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Aufgabe 1
Beweisen Sie: Wenn die beiden Geraden und
den Punkt
und nur den Punkt
gemeinsam haben, dann gilt
.
Gitl nicht: ?--Tja??? 10:00, 25. Nov. 2010 (UTC)
hab's gerade geändert--*m.g.* 10:19, 25. Nov. 2010 (UTC) danke
Lösung von Aufgabe 1
Wir zeigen zunächst, dass die Nacheinanderausführung überhaupt eine Drehung ist.
Hierzu brauchen wir nur zu zeigen, dass genau einen Fixpunkt hat, denn eine Bewegung ist genau dann eine Drehung, wenn sie genau einen Fixpunkt hat. Weil Z der einzige Punkt ist, der sowohl auf g als auch auf h liegt, ist er auch der einzige Fixpunkt von
(Der Leser überzeuge sich davon.)
Also ist eine Drehung um den Fixpunkt Z.
Es bleibt zu zeigen, dass der Drehwinkel dieser Drehung doppelt so groß ist wie der Winkel zwischen den beiden Geraden g und h (Reihenfolge beachten).
Hierzu reicht es zu zeigen, dass ein spezieller Punkt P mit P verschieden von Z derart durch auf P' abgebildet wird, dass der Winkel
doppelt so groß ist wie der Winkel zwischen den beiden Geraden g und h.
Aufgabe 2
Es seien und
zwei zueinander parallele Geraden. Ferner sei
eine Gerade, die senkrecht auf
und damit auch senkrecht auf
steht. Der Punkt
sei der Schnittpunkt von
mit
und der gemeinsame Schnittpunkt von
und
sei mit
bezeichnet.
Man beweise: .
Aufgabe 3
Es seien und
zwei nicht identische Punkte. Ferner seien die Winkel
und
supplementär.
Man beweise: .