12)

Der Begriff Mittelsenkrechte sei folgendermaßen definiert:
Die Mittelsenkrechte einer Strecke $\overline{AB}$ ist die Gerade g, die durch den Mittelpunkt von $\overline{AB}$ verläuft und zu dieser Strecke $\overline{AB}$ senkrecht steht.
Beweisen Sie folgenden Satz:
Die Mittelsenkrechte m einer beliebigen Strecke $\overline{AB}$ ist die Menge aller Punkte P, die von A und B denselben Abstand haben:
(Beachten Sie, dass auch dieser Beweis wieder aus zwei Teilen besteht analog zur Aufgabe 3.4).

Voraussetzungen:

$\overline{AB} = \overline{AC} + \overline{CB}$ der Mittelpunkt der Strecke AB ist der Punkt C

$\angle m, \overline{CA} = \angle m, \overline{CB} = 90$° m ist die Mittelsenkrechte; D ein exemplarisch verwendeter Punkt auf m

Behauptung:

$m = \left\{ {\forall P:\left| PA \right| = \left| PB \right| } \right\}$ Alle Punke mit der Eigenschaft, dass der Abstand zu A und B gleich ist, bilden die Mittelsenkrechte

Beweis:

$\left| AC \right| = \left| BC \right| \wedge \left| CD \right| = \left| CD \right| \wedge \angle m, \overline{CA} = \angle m, \overline{CB}\Rightarrow \left| AD \right| = \left| BD \right|$ SsW Die dreiecke sind konguent, somit muss auch der Abstand identisch sein. Somit liegt D auf m

• So habe ich das auch gelöst, nur dass ich dabei mit SWS begründet habe. Außerdem könnte man das letzte "somit liegt D auf m" weglassen, da wir ja davon ausgegangen sind, dass D auf m liegt und nur beweisen müssen, dass jeder Punkt Element von m zu den Endpunkten der Strecke AB denselben Abstand hat. :)--Miriam 17:00, 1. Nov. 2011 (CET)

Annahme:

$\exists P\not\in m \wedge \left| AP \right|= \left| BP \right|$

Beweis Teil 2:

$P\not\in m \wedge \left| AP \right|= \left| BP \right| \Rightarrow \overline{PM} \neq m$ Es muss dan also eine Gerade geben welche die Punke P und M schneidet jedoch nicht die Mittelsenkrechte ist, sonst wäre ja P Element m

$\angle \overline{PM},\overline{AC} \neq \angle \overline{PM},\overline{BC}$ Da es dich nicht um die Mittelsenkrechte handelt, müssen die Winkel auch unterschiedlich sein.

SSS - Wenn die drei Seiten des Dreiecks konguent sind müssen die Winkel es auch sein. Also muss P Element m sein. --RicRic