Quiz der Woche

Es sei $\ R$ ein Äquivalenzrelation auf der Menge $\ M$. Wir zerlegen $\ M$ derart in Teilmengen $\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...$, dass gilt: Jede der Teilmengen besteht aus all den Elementen von $\ M$, die in der Relation $\ R$ zueinander stehen.
Satz:
Die Zerlegung von $\ M$ in die Teilmengen $\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...$ ist eine Klasseneinteilung von $\ M$.

Beispiel zu dieser Idee, Klassen einzuteilen

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1. Die Idee, eine Klasse durch eines ihrer Elemente zu beschreiben.
{Wir wollen versuchen, die Art und Weise der Generierung einer beliebigen der Teilmengen $\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...$ formal zu beschreiben. Diesbezüglich stellen wir fest, dass es sinnvoller ist, nicht mit Zahlen, sondern Elementen aus $\ M$ zu indizieren. Unter der Klasse $\ T_a$ verstehen wir dann alle Elemente von $\ M$, die mit dem Element $\ a$ aus M in der Relation $\ R$ stehen. Welche der folgenden formalen Definitionen ist bezüglich dieser Idee korrekt?

	$\bigwedge_{a \in M}: T_a:= \lbrace b| b \in M \land bRa \rbrace$
→	so liest sich das: Für alle $a$ aus $M$ legen wir die Teilmenge $T_a$ derart fest, dass zu ihr alle Elemente $b$ aus $M$ gehören, die mit $a$ in der Relation $R$ stehen.
	$\bigwedge_{b \in M}: T_b:= \lbrace x| x \in M \land xRb \rbrace$
→	Genau dasselbe wie zuvor, nur heißt $a$ jetzt $b$ und $b$ dafür $x$.

2. Überlegungen zur Voraussetzung

Voraussetzung: $R$ ist eine

Das bedeutet:

(R) $R$ ist

(S) $R$ ist

(T) $R$ ist

3. Überlegungen zur Behauptung

Behauptung: Die Einteilung von $\ M$ in die Teilmengen $\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...$ ist eine von $\ M$.

Das bedeutet, dass wir zu zeigen haben:

(L) Der Durchschnitt zweier verschiedener Teilmengen $\ T_i$ und $\ T_j$ ist die

(S) Die Vereinigungsmenge aller Teilmengen $\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...$ ist die Menge

(0) Weder $\ T_1$ noch $\ T_2$ noch irgendeine andere der Mengen $\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...$ ist .

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