Übung Aufgaben 1 (SoSe 12)

Aufgaben zu Definitionen

Aufgabe 1.1

Handelt es sich um Definitionen? Wenn ja, um welche Art von Definition (Real-, Konventional-, genetisch)? Begründen Sie!

1. Jedes n-Eck mit n=4 heißt Viereck.
2. Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent.
3. Eine Gerade heißt Dreiecksschneidende, falls es ein Dreieck gibt, dessen drei Seiten von der Geraden geschnitten werden, wobei die Eckpunkte des Dreiecks nicht zur Geraden gehören.
4. Es gibt Vierecke mit einem Umkreis, die so genannten Sehnenvierecke.
5. Wenn ein n-Eck vier Ecken hat, dann ist es ein Viereck.
6. Es gibt Sehnenvierecke.
7. Jeder Peripheriewinkel über einem Durchmesser ist ein Rechter.
8. Ein rechter Winkel ist ein solcher, der zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist.
9. Wenn ein Winkel zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist, so ist er ein Rechter.
10. Ein Viereck, das so aussieht wie die Vierecke auf der bayrischen Fahne, heißt Raute.
11. Es seien a und b zwei nichtidentische zueinander parallele Geraden. Lege auf a und b jeweils zwei verschiedene Punkte fest. Verbinde die vier Punkte zu einem konvexen Viereck. Du erhältst ein Trapez.
12. Die Menge aller Punkte, die von den Endpunkten einer Strecke ein und denselben Abstand hat, heißt Mittelsenkrechte der Strecke.
13. Eine Gerade, die senkrecht auf einer Strecke steht und diese halbiert, heißt Mittelsenkrechte der Strecke.
14. Ein Rechteck hat vier rechte Innenwinkel.
15. Jedes Quadrat ist ein Rechteck.
16. Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten wobei je zwei Seiten parallel zueinander sind.

Lösung von Aufgabe 1.1 (SoSe_12)

Aufgabe 1.2

Definieren Sie die folgenden Begriffe mathematisch korrekt. Die Begriffe n-Eck, Seite und Ecke eines n-Ecks seien bereits definiert. Beziehen Sie sich auf den nächsthöheren Oberbegriff.

Viereck, Trapez, gleichschenkliges Trapez, Parallelogramm, Drachen, Raute, Rechteck, Quadrat

Lösung von Aufgabe 1.2 (SoSe_12)

Aufgabe 1.3

Welche Definition für Kreis ist richtig? Warum (nicht)?

• Sei $M$ ein Punkt und $P$ eine Menge, deren Elemente Punkte sind. Wenn gilt: $\left| MP \right|$ ist konstant, so ist $P$ ein Kreis mit Mittelpunkt $M$.
• Sei $M$ ein Punkt und $P$ eine Punktmenge. Wenn gilt: $X\in P:\left| XM \right|=r$, dann ist $P$ ein Kreis.
• Sei $M$ ein Punkt in der Ebene $E$ und $P$ eine Punktmenge. Wenn $P$ alle Punkte $X$ enthält für die gilt∶ $\left| XM \right|=r,r\in \mathbb{R}^{+}$ und $X\in E$, dann ist $P$ ein Kreis mit dem Mittelpunkt $M$.
• Sei $M$ ein Punkt in der Ebene $E$ und $P$ eine Menge, deren Elemente Punkte sind. Wenn für alle $X \in P$ gilt∶ $\left| XM \right|=r,r\in \mathbb{R}^{+}$, dann ist $P$ ein Kreis.
• Sei $M$ ein Punkt und $P$ eine Menge, deren Elemente Punkte sind. Alle Elemente von $P$ liegen in ein und derselben Ebene wie $M$. Wenn gilt: $\left| MP \right|$ ist konstant, so ist $P$ ein Kreis mit Mittelpunkt $M$.

Lösung von Aufgabe 1.3 (SoSe_12)

Aufgabe 1.4

Am 03. Febr. 2003 wurde in der Quiz-Sendung "Wer wird Millionär" folgende 16000 €-Frage gestellt:
Jedes Rechteck ist ein ...
Mit folgenden Auswahlantworten: Rhombus (Raute), Quadrat, Trapez, Parallelogramm
Nehmen Sie Stellung!

Lösung von Aufgabe 1.4 (SoSe_12)

Aufgabe 1.5

Kommentieren Sie den folgenden Definitionsversuch:

Definition: (gleichschenkliges Dreieck)

Es gibt Dreiecke, die zwei zueinander kongruente Innenwinkel haben. Diese Dreiecke heißen gleichschenklige Dreiecke.

Lösung von Aufgabe 1.5 (SoSe_12)

Aufgabe 1.6

In welchen Fällen handelt es sich um eine korrekte Definition des Begriffs Parallelogramm? Begründen Sie!

1. Wenn sich in einem Viereck die Diagonalen halbieren, so ist das Viereck ein Parallelogramm.
2. Wenn in einem Drachen die gegenüberliegenden Seiten kongruent zueinander sind, so ist der Drachen ein Parallelogramm.
3. Es gibt Trapeze, die ein weiteres Paar paralleler Seiten haben und die Parallelogramme genannt werden.
4. Trapeze mit zwei zueinander kongruenten Seiten heißen Parallelogramme.
   

Lösung von Aufgabe 1.6 (SoSe_12)