Lösung von Aufgabe 4.2P (SoSe 12)

Untersuchen Sie folgende Relation S auf ihre Eigenschaften:
$\ g S h \Leftrightarrow \ g \cap h \neq \lbrace \rbrace$

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Reflexiv, symmetrisch und transitiv $\Leftrightarrow$ Äquivalenzrelation --Malilglowka 17:29, 10. Mai 2012 (CEST)

reflexiv: würde ich zustimmen, denn eine menge mit sich selbst geschnitten keine leere menge ergibt
symmetrisch: ja, weil das kommutativgesetz gilt (auch g und h haben keine leere menge.
transitiv: würde ich dir nicht zustimmen: wenn g geschnitten mit h keine leere menge hat und h mit i geschnitten keine leere menge, können wir nichts darüber aussagen, ob g und i geschnitten nicht doch eine leere menge haben
- zahlenbeispiel: wenn $g= \lbrace4,5 \rbrace$und $h= \lbrace1,4,5 \rbrace$und $i= \lbrace1 \rbrace$, dann haben g geschnitten mit i eine leere menge.
- beispiel aus der geometrie: wenn g eine gerade ist und h schneidet g, dann hätte i, wenn sie zu g parallel ist, zwar auch einen punkt mit h gemeinsam, aber nicht zur parallelen geraden g--Studentin 19:21, 10. Mai 2012 (CEST)

transitiv : gRh und hRc $\Rightarrow$ gRc somit gRh stimmt ja somit ist die Aussage wahr und hRc geht nicht, da kein c definiert ist, somit ist hRc falsch. Alles in allem ist die wahre Aussage und falsche Aussage immer eine falsche Aussage (UND-Aussage). Und durch die Implikation ist es egal was hinten raus kommt die Aussage ist wahr ($\Rightarrow$ Aussage). Hoffe konnte es verständlich ausführen.--Malilglowka 23:41, 10. Mai 2012 (CEST)

ich verstehe , was du meinst. aber sind wir nicht immer von einem unbekannten dritten ausgegangen und haben wir damit überprüft, ob etwas transitiv ist oder nicht?--Studentin 00:15, 11. Mai 2012 (CEST)
g und h sind einfach zwei Variablen für zwei Mengen. Es können beliebige Mengen dafür eingesetzt werden, solange diese in Relation stehen.
Wenn gilt: $\forall$ a, b,c: $a R b$ $\wedge$ $b R c$$\rightarrow a R c$ ist eine Relation transitiv.
Somit lässt sich die Eigenschaft widerlegen, wenn man ein Gegenbeispiel nennt. Das hat Userin Studentin oben sehr gut beschrieben.--Tutorin Anne 18:54, 13. Mai 2012 (CEST)

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Frage vorweg: Müssen wir nur den ersten Teil (gSh) auf seine Eigenschaften untersuchen, oder die ganze Äquivalenz?; in der Aufgabe steht nämlich nur "Relation S".

Ich habe gerade ein totales Wirrwarr im Kopf.

• $\ g S h$ heißt einfach nur, dass g in Relation S mit h steht. Diese wird durch das Äquivalenzzeichen defniert als $\ g \cap h \neq \lbrace \rbrace$. --Tutorin Anne 15:29, 14. Mai 2012 (CEST)
  

Reflexiv: Zum einen kann man sagen, dass g sich nicht selbst schneiden kann (Relationszeichen S), aber man kann sagen, dass die Schnittmenge von identischen Punktmengen (g schneidet g)(und Geraden sind ja nichts anderes als Punktmengen) die selben Elemente enthält und nie leer sein kann!

• Richtig, die Schnittmenge ist nicht leer. Der Schnitt einer Gerade mit sich selbst ist die Gerade selbst. --Tutorin Anne 15:29, 14. Mai 2012 (CEST)

Symmetrisch: Wenn gSh, dann gilt auch hSg (kommutativ)

Transitiv: gSh und hSi, dann gSi In fast immer falsch, außer wenn g=i. --Honeydukes 19:18, 12. Mai 2012 (CEST)

• Eher fast immer richig, oder? Was meinen die anderen?--Tutorin Anne 15:29, 14. Mai 2012 (CEST)

wenn folgendes gilt: $\forall$ a, b,c: $a R b$ $\wedge$ $b R c$$\rightarrow a R c$ ist eine relation transitiv.
wichtig dabei ist das "für alle" - ob "eher fast immer richtig", wie tutorin anne meint oder "fast immer falsch" im beitrag darüber, ist egal.
wenn es nicht für alle gilt und ein beispiel gefunden wird, für das es nicht gilt, ist die aufgabe nicht transitiv.--Studentin 17:15, 14. Mai 2012 (CEST)