Übung Aufgaben 4 P (SoSe 12)

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Inhaltsverzeichnis

Aufgaben zu Relationen und Äquivalenzklassen

Aufgabe 4.1

Entscheiden Sie für die folgenden Relationen, ob es sich um reflexive, symmetrische sowie transitive Relationen handelt?

  • Parallelität von Geraden der Ebene
  • Kongruenz geometrischer Figuren
  • Teilbarkeit in \mathbb{N}
  • Kleinerrelation in \mathbb{R}
  • Größer-Gleich-Relation in \mathbb{R}
  • Ungleichheit in \mathbb{R}

Lösung von Aufgabe 4.1P (SoSe_12)

Aufgabe 4.2

Untersuchen Sie folgende Relation S auf ihre Eigenschaften:
\ g S h \Leftrightarrow \ g \cap h \neq \lbrace \rbrace
Lösung von Aufgabe 4.2P (SoSe_12)

Aufgabe 4.3

In der Schule sprechen wir davon, dass wir Dreiecke
a) hinsichtlich der Seitenlängen oder
b) hinsichtlich der Winkelgrößen klassifizieren.
In welchen der beiden Fälle handelt es sich um eine wirkliche Klasseneinteilung? Argumentieren Sie mit Hilfe eines Venn-Diagramms.
Lösung von Aufgabe 4.3P (SoSe_12)

Aufgabe 4.4

Gegeben sei eine Gerade g und ein Punkt P auf g. Durch diesen Punkt P wird die Gerade g in zwei Halbgeraden geteilt.
a) Warum ist diese Einteilung von g in die zwei Halbgeraden bezüglich P keine Klasseneinteilung auf der Menge der Punkte von g?
b) Geben Sie zwei Klasseneinteilungen auf der Menge der Punkte von g an, die den Punkt P und die auf g durch P bestimmten Halbgeraden in modifizierter Form verwenden.
Lösung von Aufgabe 4.4P (SoSe_12)

Aufgabe 4.5

Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation \ \Theta (\ \Theta ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge \ E \setminus g (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige \ A,B \in E \setminus g gilt: \ A  \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = \lbrace \rbrace.
a) Beschreiben Sie die Relation \ \Theta verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.
b) Begründen Sie anschaulich, dass \ \Theta eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation \ \Theta bezogen.
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.
Lösung von Aufgabe 4.5P (SoSe_12)

Aufgabe 4.6

Es sei \ \mathfrak{F} die Menge der Figuren der Ebene. Auf \ \mathfrak{F} sei eine Äquivalenzrelation \ \Theta definiert. \ \Theta möge \ \mathfrak{F} derart in Klassen einteilen, dass die folgenden Figuren in ein und derselben Klasse liegen: Figur Aufgabe 5.jpg
Geben Sie mögliche Interpretationen der Relation \ \Theta an.
Lösung von Aufgabe 4.6P (SoSe_12)