Übung Aufgaben 6 (SoSe 12)

Aufgabe zur Inzidenz

Aufgabe 6.1

Es sei $\ g$ eine Gerade und $\ P$ ein Punkt, der nicht zu $\ g$ gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene $\ \epsilon$, die sowohl alle Punkte von $\ g$ als auch den Punkt $\ P$ enthält.

Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)

Aufgaben zum Abstand und zur Anordnung

Aufgabe 5.2

Zeigen Sie, dass für drei paarweise verschiedene Punkte $\ A, B$ und $\ C$ gilt:
$\operatorname Zw (A, B, C)$ $\Rightarrow$ $\overline{AB}$ $\subset$ $\overline{AC}$

Tipps zu Aufgabe 5.2 (SoSe_12)

Lösung von Aufgabe 5.2 (SoSe_12)

Aufgabe 5.4

Beweisen Sie: Zu jeder Strecke $\overline{AB}$ existiert genau eine Strecke $\overline{AC}$ auf $\ AB^{+}$ mit $\left| AB \right| = \frac{1}{4} \left| AC \right|$ und $\overline{AB}$ $\subset$ $\overline{AC}$
Tipps zu Aufgabe 5.4 (SoSe_12)

Lösung von Aufgabe 5.4 (SoSe_12)

Aufgabe 6.1

Definieren Sie: Strecke, Länge einer Strecke, die Halbgerade $AB^+$ und die Halbgerade $AB^-$. Suchen Sie verschiedene Schreibweisen. (Hilfe finden Sie im Skript "Abstand, Anordnung, Strecke".)

Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)

Aufgabe 6.1

a) Definieren Sie windschief auf der Menge aller Geraden (d.h.im Raum) auf zwei verschiedene Arten.
b) Warum ist die folgende Definition sinnlos?

Zwei Ebenen sind windschief, wenn sie sich nicht schneiden und sie nicht parallel zueinander sind.

Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)

Aufgabe 6.1

Im Skript steht als Beweis "trivial". Führen Sie die Beweise trotzdem mal durch. Gehen Sie kleinschrittig und gut begründet vor.
Beweisen Sie:
a) $\operatorname Zw (A, B, C)$ $\Rightarrow$ $\operatorname Zw (C, B, A)$
b) $\operatorname Zw (A, B, C)$ $\Rightarrow$ $\operatorname koll (A, B, C)$

Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)

Aufgabe 6.1

Warum ist die folgende Aufgabenstellung sinnlos?
Beweisen Sie Axiom II.2: Für beliebige Punkte $A$ und $B$ gilt: $\left| AB \right|$ = $\left| BA \right|$
Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)

Aufgabe 9.1

Es seien A und B zwei verschiedene Punkte. Welche Ergebnisse erzielen Sie nach den folgenden Mengenoperationen?

a) $\ AB^{+} \cap BA^{+} =$

b) $\ AB^{-} \cap BA^{-} =$

c) $\ AB$ geschnitten mit dem Kreis um $\ A$ durch $\ B$ =

d)$\ AB \cap BA =$

Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)