Lösung von Aufgabe 5.1 S (SoSe 12)

Die Aufgabe

Satz:

Von drei paarweise verschiedenen Punkten $\ A, B$ und $\ C$ ein und derselben Geraden $\ g$ liegt genau einer zwischen den beiden anderen.

Beweisen Sie diesen Satz.

Lösungsvorschlag 1

          Vor.: koll(A,B,C) und liegen auf einer Geraden g
          Beh.: |AB| + |BC|  = |AC|
          Ann.: Zw(A,B,C) $\Rightarrow$ Zw(C,B,A) $\wedge$ A,B,C $\in$ g

      dir.Bew.: Zw(A,B,C)
                |AB| + |BC|  = |AC|
                |CB| + |BA|  = |CA|
                $\Rightarrow$ Zw(A,B,C)
                $\Rightarrow$ koll(A,B,C)
                $\Rightarrow$ A,B,C $\in$ g

Der Satz stimmt: B liegt zwischen A und C --Gilmore 18:34, 17. Mai 2012 (CEST)

Kommentar zu Lösungsvorschlag 1 von --*m.g.* 18:48, 17. Mai 2012 (CEST)

• $\operatorname{koll}\left(A,B,C\right)$ bedeutet, dass die drei Punkte auf ein und derselben Geraden liegen, alles was hinter dem und kommt ist somit "doppelt gemoppelt", also weglassen.
• Die Behauptung: $\left|AB\right|+\left|BC\right|=\left|AC\right|$ spiegelt die Aussage des Satzes nicht korrekt wider:

Der Satz hat eigentlich zwei Behauptungen:

1. Überhaupt einer der drei kollinearen Punkte liegt zwischen den beiden anderen (Existenz),
2. Kein weiterer Punkt liegt zwischen den beiden anderen. Konkreter: Wenn wir etwa mit $B$ den Punkt gefunden hätten der von den drei Punkten zwischen den beiden anderen (also in diesem Fall zwischen $A$ und $C$) liegt, dann liegt weder $C$ zwischen $A$ und $B$ noch $A$ zwischen $B$ und $C$ (Eindeutigkeit).

• Die Annahme von Gilmore sagt nun nichts anderes aus als: Wenn der Punkt $B$ zwischen den Punkten $A$ und $C$ liegt, dann liegt $B$ auch zwischen den Punkten $C$ und $A$. Das hat nichts mit der Aussage des Satzes zu tun.
• Es ist klar, dass die Beweisführung unter diesen Umständen daneben gehen muss. Am Anfang des Beweises steht, dass $B$ zwischen $A$ und $C$ liegt. Warum sollte das so sein? Am Ende des Beweises ergibt sich dann, dass$A$, $B$ und$C$ drei Punkte ein und derselben Geraden sind. Das war doch die Voraussetzung des Satzes überhaupt. Wir erinnern uns: Wenn $A$, $B$ und $C$ Punkte ein und derselben Geraden sind, dann ... . Also wie durch Zauber haben wir zu Anfang der Beweisführung drei Punkte von denen $B$ zwischen $A$ und $C$ liegt und am Ende kommt heraus, dass die drei Punkte Punkte ein und derselben Geraden sind. Zusammengefasst: Wenn $A$, $B$ und $C$ Punkte ein und derselben geraden sind, dann sind $A$, $B$ und $C$ Punkte ein und derselben Geraden: Wieder mal: Wenn du kein iPhone hast, dann hast du kein iPhone.

Nicht entmutigen lassen, und vor allem nicht versuchen irgendwie nach einem Algorithmus zu arbeiten. Formulieren Sie ruhig umgangssprachlich und weniger formal, das formale kommt dann schon.--*m.g.* 19:23, 17. Mai 2012 (CEST)

Ein wenig Hilfe

Teile und Herrsche ist ein Konzept zum Lösen von Problemen. Sie haben eigentlich zwei Probleme:

• Beweisen, dass von A, B und C einer zwischen den beiden anderen liegt.
• Beweisen, dass kein weiterer zwischen den beiden anderen liegt.

Führen Sie entsprechend auch zwei Beweise. Erst zeigen Sie, dass überhaupt einer der drei Punkte zwischen den anderen beiden liegt, dann sagen Sie einfach, dass das der Punkt B sein möge und zweigen durch Widerspruchsbeweis, dass dann z.B. A nicht mehr zwischen B und C liegen kann. Viel Erfolg ins besondere für Neran69, der/die gerade beim Eintippen einer Lösung ist.--*m.g.* 19:40, 17. Mai 2012 (CEST)