Lösung von Aufgabe 5.1P (SoSe 12)
Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist.
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe:
Es seien a, b und c drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: .
b) Welche Eigenschaft der Relation auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: .
.
für den widerspruchsbeweis nehme ich nun
1. die behauptung:
du meinst sicher die Voraussetzung, die du richtig genannt hast.--Tutorin Anne 18:27, 22. Mai 2012 (CEST)
und
2. die annahme (gegenteil der behauptung):,
um sie zu einem widerspruch zu führen.
wenn a und c nicht parallel sind, haben sie einen schnittpunkt.
es ist gegeben, dass , beide (a und c) müssen also zu b parallel sein.
da der schnittpunkt auf beiden liegt und das parallelaxiom gilt, gibt es durch dieses schnittpunkt nur eine (nicht zwei(a und c)) parallele geraden. a und c müssen also identisch sein.
--Studentin 09:35, 11. Mai 2012 (CEST)
sehr gut! Natürlich lässt sich das auch in Form einer Tabelle aufführen. Möchten sich noch andere versuchen?--Tutorin Anne 18:27, 22. Mai 2012 (CEST)
In dem Sinne ist der Widerspruch widerlegt da in dem Fall a und c einen Schnittpunkt haben und da durch das Axiom kein Punkt A auf der geraden a liegen darf ist nur b mit a parallel aber nicht b mit c und somit ist auch nicht a mit c. habe cih das richtig verstanden? --Malilglowka 15:12, 23. Mai 2012 (CEST)
Beweisschritt | Begründung |
---|---|
(1) | 1... |
(2) | 2... |
b) Welche Eigenschaft der Relation auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?
die relation ist transitiv.--Studentin 09:39, 11. Mai 2012 (CEST)