Lösung von Aufgabe 5.1P (SoSe 12)

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Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist.
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe:
Es seien a, b und c drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: \ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c .
b) Welche Eigenschaft der Relation \|| auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?

a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: \ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c .
\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c .
für den widerspruchsbeweis nehme ich nun
1. die behauptung:\ a \|| b \wedge b \|| c

du meinst sicher die Voraussetzung, die du richtig genannt hast.--Tutorin Anne 18:27, 22. Mai 2012 (CEST)

und
2. die annahme (gegenteil der behauptung): a\not \parallel c,
um sie zu einem widerspruch zu führen.

Parallele mit schnittpunkt 001.jpg
wenn a und c nicht parallel sind, haben sie einen schnittpunkt.
es ist gegeben, dass \ a \|| b \wedge b \|| c , beide (a und c) müssen also zu b parallel sein.
da der schnittpunkt auf beiden liegt und das parallelaxiom gilt, gibt es durch dieses schnittpunkt nur eine (nicht zwei(a und c)) parallele geraden. a und c müssen also identisch sein. --Studentin 09:35, 11. Mai 2012 (CEST)

sehr gut! Natürlich lässt sich das auch in Form einer Tabelle aufführen. Möchten sich noch andere versuchen?--Tutorin Anne 18:27, 22. Mai 2012 (CEST)

In dem Sinne ist der Widerspruch widerlegt da in dem Fall a und c einen Schnittpunkt haben und da durch das Axiom kein Punkt A auf der geraden a liegen darf ist nur b mit a parallel aber nicht b mit c und somit ist auch nicht a mit c. habe cih das richtig verstanden? --Malilglowka 15:12, 23. Mai 2012 (CEST)

durch den punkt a darf nur eine(!) gerade geben, die zur geraden b parallel ist (p.-axiom), da a und c durch den schnittpunkt gehen, müssen beide identisch sein.--Studentin 15:17, 23. Mai 2012 (CEST)

Beweisschritt Begründung
(1) a nicht parallel c 1. somit Schnittpunkt a und c
(2) b nicht parallel c 2. Da Schnittpunkt auf beiden ist
(3) a parallel b und b nicht parallel c 3. Parallelaxiom

so ?--Malilglowka 15:18, 23. Mai 2012 (CEST)

b) Welche Eigenschaft der Relation \|| auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?
die relation \|| ist transitiv.--Studentin 09:39, 11. Mai 2012 (CEST)