Übung Aufgaben 6 P (SoSe 12)

Aufgabe 6.1

Beweisen Sie: Aus $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$ folgt $\operatorname{koll} \left( A, B, C \right)$.

Lösung von Aufgabe 6.1P (SoSe_12)

Aufgabe 6.2

Beweisen Sie: Es sei $\operatorname{koll} \left( A, B, C \right)$ mit $\ A, B, C$ sind paarweise verschieden.
Dann gilt genau eine der folgenden Zwischenrelationen: $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$ oder $\operatorname{Zw} \left( A, C, B \right)$ oder $\operatorname{Zw} \left( B, A, C \right)$.

Lösung von Aufgabe 6.2P (SoSe_12)

Aufgabe 6.3

Es seien A und B zwei verschiedene Punkte. Welche Ergebnisse erzielen Sie nach den folgenden Mengenoperationen?

a) $\ AB^{+} \cap BA^{+} =$

b) $\ AB^{-} \cap BA^{-} =$

c) $\ AB$ geschnitten mit dem Kreis um $\ A$ durch $\ B$ =

d)$\ AB \cap BA =$

Lösung von Aufgabe 6.3P (SoSe_12)

Aufgabe 6.4

Beweisen Sie den Satz von Pasch. Verwenden Sie für den Beweis die Definition von Halbebenen und gehen Sie davon aus, dass jede Ebene in genau zwei Halbebenen geteilt werden kann.
Lösung von Aufgabe 6.4P (SoSe_12)

Aufgabe 6.5

Gegeben seien drei paarweise verschiedene und kollineare Punkte A, B und C in einer Ebene E. Ferner sei eine Gerade g Teilmenge der Ebene E, wobei keiner der Punkte A, B und C auf g liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang:

$\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace \Rightarrow \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace$

Lösung von Aufgabe 6.5P (SoSe_12)