Basiswinkelsatz und Mittelsenkrechtenkriterium (SoSe 12)

Der Basiswinkelsatz Gleichschenklige Dreiecke Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck) Das können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter. Übungsaufgabe Der Basiswinkelsatz Satz VII.5: Basiswinkelsatz In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander. Schulvariante des Beweises des Basiswinkelsatzes Ein im Rahmen unserer Theorie korrekter Beweis des Basiswinkelsatzes Probieren Sie ruhig weitere Varianten: Mittelsenkrechte ... . Letztlich hilft nur die Winkelhalbierende. Damit wir uns auf die wesentliche Beweisidee des Basiwinkelsatzes konzentrieren können, schicken wir ein Lemma voraus. Lemma 1 Die Winkelhalbierende $\ SW^+$ eines Winkels $\ \angle ASB$ schneidet die Strecke $\overline{AB}$ in genau einem Punkt $\ P$. Beweis von Lemma 1 später (Wir haben wichtigeres zu tun.) googeln Sie: "Geschichten aus dem Inneren Gieding" und Sie werden fündig. Beweis des Basiswinkelsatzes Das Mittelsenkrechtenkriterium Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium) Ein Punkt $\ P$ gehört genau dann zur Mittelsenkrechten der Strecke $\overline{AB}$, wenn $\overline{AP} \tilde {=} \overline{BP}$ gilt. Bezug zur Schule: Konstruktion der Mittelsenkrechten einer Strecke $\overline{AB}$ mittels Zirkel und Lineal: Konstruktionsvorschrift: gegeben: Strecke $\overline{AB}$ gesucht: $\ m$ , die Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$ Schrittnr. Konstruktionsschritt 1. Zeichne einen Kreis um $\ A$, dessen Radius $\ r$ länger als die Hälfte der Länge der Strecke $\overline{AB}$ ist. 2. Behalte $\ r$ bei und zeichne einen Kreis um $\ B$. 3. Der Kreis um $\ A$ schneidet den Kreis um $\ B$ in den beiden Schnittpunkten $\ S_1$ und $\ S_2$. 4. Zeichne die Gerade $\ S_1S_2$. Sie ist die gesuchte Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$. Frage: Ist dieser Algorithmus korrekt? Anders gefragt: Ist $\ S_1S_2$ wirklich die Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$? Wir beweisen die Korrektheit der Konstruktion indem wir folgendes zeigen: Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$gehört.) Wenn ein Punkt $\ P$ zu den Endpunkten der Strecke $\overline{AB}$ jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$. Beweis von Satz VII.6 a Übungsaufgabe (Das Video hilft) Nach dem Beweis von Satz VII.6 a wissen wir, dass die beiden Punkte $\ S_1$ und $\ S_2$ Punkte der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$ sind. Die Wahl des Radius $\ r$ der beiden Kreise in unserer Konstruktion war beliebig für $\ | r | > \frac{1}{2} | \overline{AB} |$. Wir stellen uns jetzt die frage, ob wir jeden beliebigen Punkt unserer Mittelsenkrechten als Schnittpunkt zweier entsprechender Kreise konstruieren könnten. Die Frage anders formuliert: Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$ zu den Punkten $\ A$ und $\ B$ jeweils ein und denselben Abstand? Noch anders formuliert: Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten einer Strecke $\overline{AB}$ notwendigerweise zu $\ A$ und zu $\ B$ ein und denselben Abstand? Der folgende Satz VII.6 b beantwortet diese beiden Fragen postiv: Satz VII.6 b (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$ gehört) Wenn ein Punkt $\ P$ zur Mittelsenkrechten der Strecke $\overline{AB}$ gehört, dann hat er zu den Punkten $\ A$ und $\ B$ ein und denselben Abstand. Bemerkung zu der Idee der notwendigen Bedingung: Wir wissen, eine Implikation aus a folgt b bedeutet, dass a eine hinreichende Bedingung für b ist. Warum kennzeichnet eine Implikation jetzt auf einmal eine notwendige Bedingung? Natürlich kennzeichnet die Implikation VII. 6 b auch eine hinreichende Bedingung. Dafür dass ein Punkt $\ P$ zu zwei verschiedenen Punkten $\ A$ und $\ B$ ein und denselben Abstand hat ist es hinreichend, dass $\ P$ auf der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$ liegt. Zur Implikation VII.6 b äquivalent ist deren Kontraposition: Wenn ein Punkt $\ P$ zu den Punkten $\ A$ und $\ B$ nicht ein und denselben Abstand hat, dann ist er auch nicht ein Punkt der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$. Beweis: Übungsaufgabe