Lösung von Aufg. 10.2 S

Lösungsversuch Nummero6/Tchu Tcha Tcha:

Skizze:

Voraussetzung:
(V1) Punkt P
(V2) Strecke $\overline{AB}$
(V3) $\left|\overline{PA}\right| = \left|\overline{PB}\right| = \left| d \right|$
Behauptung:
P $\in$ Mittelsenkrechte $\overline{AB}$

(1) $\exist M\in \overline{AB} : \left| AM \right| = \left| MB \right|$ // (V2), Ex. & Eind. Mittelpkt. einer Strecke
(2) $\exists m \in E : \ MP$ // (V1), (1), Axiom I.1
(3) $\overline{MP} = \overline{MP}$ // trivial
(4) $\left|\overline{PA}\right| = \left|\overline{PB}\right|$ // (V3)
(5) $\left|\overline{AM}\right| = \left|\overline{MB}\right|$ // (1)
(6) $\overline{AMP} kongruent \overline{BMP}$ // (3-5), SSS
(7) $\angle AMP kongruent \angle BMP$ // (6)
(8) $\ m \perp \overline{AB}$ // (7), Def. NW, Def. suppl., Supplementaxiom, Def. rechter Winkel, Def. senkrecht
(9) $P \in m$ also auch $P \in Mittelsenkrechte \overline{AB}$ // (2)
qed
--Tchu Tcha Tcha 18:58, 27. Jun. 2012 (CEST)

Kopernikus / Just noch ein sailA

Beweisen Sie Satz VII.6 a:

Wenn ein Punkt $\ P$ zu den Endpunkten der Strecke $\overline{AB}$ jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$ .

Vor:
1. $\overline{AB}$
2. $\overline{AP} = \overline{PB}$

Beh:
$P\in$ der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$

Schritt	Beweis	Begründung
1	$\overline{AP} =\overline{BP}$	Vor.
2	$\overline{AM} =\overline{MB}$	Ex. Eind. der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$
3	$\overline{MP} =\overline{PM}$	trivial
4	$\overline{AMP} \tilde {=} \overline{BMP}$	Kong. Satz SSS, 1,2,3
5	$\angle AMP =\angle PMB$	4, Dreieckskongruenz
6	$P\in$ der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$	2,5, Def. VI.1 (Mittelsenkrechte)
7	Beh. stimmt q.e.d	6, Beh.