Lösung von Aufg. 10.2 S

Lösungsversuch Nummero6/Tchu Tcha Tcha:

Skizze:

Voraussetzung:
(V1) Punkt P
(V2) Strecke $\overline{AB}$
(V3)

 bzw. $\overline {PA} \tilde {=} \overline {PB}$

Behauptung:
P $\in$ Mittelsenkrechte$\overline{AB}$

(1) $\exist M\in \overline{AB} : \left| AM \right| = \left| MB \right|$ // (V2), Ex. & Eind. Mittelpkt. einer Strecke
(2) $\exists m \in E : \ M,P \in m$ // (V1), (1), Axiom I.1
(3) $\overline{MP} \tilde {=} \overline{MP}$ // trivial
(4) $\overline {PA} \tilde {=} \overline {PB}$ // (V3)
(5) $\overline {AM} \tilde {=} \overline {MB}$ // (1)
(6) $\overline{AMP} \tilde {=} \overline{BMP}$ // (3-5), SSS
(7) $\angle AMP \tilde {=} \angle BMP$ // (6)
(8) $\ m \perp \overline{AB}$ // (7), Def. NW, Def. suppl., Supplementaxiom, Def. rechter Winkel, Def. senkrecht
(9) $P \in m$ also auch $P \in Mittelsenkrechte \overline{AB}$ // (2)
qed
--Tchu Tcha Tcha 18:58, 27. Jun. 2012 (CEST)

Kopernikus / Just noch ein sailA

Beweisen Sie Satz VII.6 a:

Wenn ein Punkt $\ P$ zu den Endpunkten der Strecke $\overline{AB}$ jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$.

Vor:
1. $\overline{AB}$
2. $\left| AP \right| =\left| BP \right|$

Beh:
$P\in$ Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke) von $\overline{AB}$

Schritt	Beweis	Begründung
1	$\left| AP \right| =\left| BP \right|$	Vor.
2	$\overline{AM} =\overline{MB}$	Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte der Strecke $\overline{AB}$
3	$\overline{MP} =\overline{PM}$	trivial
4	$\overline{AMP} \tilde {=} \overline{BMP}$	Kong. Satz SSS, 1,2,3
5	$\angle AMP =\angle PMB$	4, Dreieckskongruenz
6	$P\in$ der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$	2,5, Def. VI.1 (Mittelsenkrechte)
7	Beh. stimmt q.e.d	6, Beh.

--Kopernikus 15:50, 28. Jun. 2012 (CEST)

$\overline{AB}$

Lösungsversuch schokomuffin

Vor: $|PA| = |PB|$
Beh: $P \in$ Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$

(1) $\exists M \in \overline{AB}  : \left| AM \right| = \left| MB \right|$ Ex. u. Eind. Mittelpunkt, Ax. II/ 2

(2) $\exists g : M \in g \ \wedge P \in g$ Ax. I/1

(3) $\angle BMP = 90$ Ax. IV/2

(4) $\angle AMP = \angle BMP$ Def. RW, NW, (3)

(5) $\ g \perp \ \overline{AB}$ (4), (3)

(6) g ist Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$ (4), (1)

--schokomuffin 14:02 01. Jul. 2012 (CEST)

• Schritt 3 und Schritt 4 kommen mir etwas aus der Luft gegriffen vor. Woher weiß man, dass $\angle BMP = 90$ und $\angle AMP = \angle BMP$ gilt? --Tutor Andreas 20:12, 1. Jul. 2012 (CEST)