Lösung von Aufgabe 6.2
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Version vom 4. Juni 2010, 01:58 Uhr von Heinzvaneugen (Diskussion | Beiträge)
Das Axiom I.7 sagt aus:
Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.
Es sei eine beliebige Ebene und die vier Punkte entsprechend Axiom I.7. Klassifizieren Sie alle Fälle die bezüglich der Inzidenz der Punkte mit auftreten können.
Vorraussetzung: Die Punkte sind nicht kollinear.
Wenn mehr als zwei Punkte kollinear sind (zB. Gerade g), dann sind diese Punkte und der verbleibende nichtkollineare Punkt (im Bsp. ) Elemente der Ebene .
Begründung:
Axiom I/4
Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. (...)
Axiom I/5
Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.
Der Fall, dass alle vier Punkte kollinear sind (also Gerade g) ist dann trivial, da durch Definition I/4 abgedeckt.
Fall | Bsp/Ausprägung | Zusatz | nKomp |
DREI Punkte liegen in (sind Elemente von...) | mögliche Tripel: 1(A,B,C) 2(A,B,D) 3(A,C,D) 4 (B,C,D) | 1(D) 2(C) 3(B) 4 (A) | |
VIER Punkte sind komplanar | alle Punkte liegen "auf" / "in" Ebene | keine Punkt nKomp |
Mehr Fälle gibt es nach der Vorraussetzung nicht, oder? --Heinzvaneugen