Lösung von Aufgabe 6.10
Aus Geometrie-Wiki
Version vom 4. Juni 2010, 05:13 Uhr von Heinzvaneugen (Diskussion | Beiträge)
Der folgende Satz bezieht sich auf die ebene Geometrie.
Satz:
- Es seien und zwei Kreise mit den Mittelpunkten bzw. und den Radien bzw. .
Die Kreise und haben dann und nur dann einen und nur einen Punkt gemeinsam, wenn gilt.
- Formulieren Sie den Satz ohne die Verwendung der Phrasen dann und nur dann sowie einen und nur einen.
- Sie haben sicherlich erkannt, dass es sich bei dem Satz um eine Äquivalenz handelt. Formulieren Sie die beiden Implikationen, die diese Äquivalenz beinhaltet.
- Beweisen Sie die beiden Implikationen.
1. Reicht es, wenn man mit "genau" arbeitet?
Die Kreise und haben genau dann genau einen Punkt gemeinsam, wenn gilt.
2. I) Wenn gilt, dann haben die beiden Kreise und genau einen Punkt gemeinsam, den Berührpunkt S.
II) Wenn zwei Kreise und genau einen Punkt gemeinsam haben, so gilt
3. Beweisen Sie die beiden Implikationen.
I)
- Eine Skizze:
- Vorraussetzung: Die Strecke ist so lang wie die Summe der beiden Radien und .
- Behauptung: Die beiden Kreisen haben genau einen gemeinsamen Punkt S.
- Gegen-Behauptung (1): Es gibt KEINEN gemeinsamen Punkt
- Gegen-Behauptung (2): Es gibt MEHR ALS EINEN gemeinsamen Punkt.
- Indirekter Beweis:
- (1) Die Strecke setzt sich zusammen aus den Strecken
- (2)
II)
--Heinzvaneugen