Definition
Beispiele
senkrechte Parallelprojektion auf die x-y-Ebene
![\varphi: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2](/images/math/d/a/7/da70780c88c55c7cd9c65fa8be18a3de.png)
![\forall \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}: \varphi \left( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\right)= \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}](/images/math/f/7/b/f7bdb46f6ef10a3772a4fa71acb8ffe6.png)
Man beweise: ist lineare Abbildung
Drehung
Drehungen um den Ursprung des Koordinatensystems
<u>Drehung der kanonischen Basisvektoren
![\vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix}](/images/math/1/a/4/1a4aec97104b45f14909ed244f6b566b.png)
![\vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}](/images/math/e/9/1/e91476aa4e1410cb0cf1f59319e957a7.png)
![Drehung kanonische Basis.JPG](/images/thumb/d/db/Drehung_kanonische_Basis.JPG/300px-Drehung_kanonische_Basis.JPG)
Drehung anderer Vektoren:
![\vec{x} \rightarrow \varphi( \vec{x} )](/images/math/6/2/3/6230fe1b16424c2433ebc08f563b8d72.png)
![\vec{x} = \lambda \vec{i} + \mu \vec{j} \rightarrow \varphi( \vec{x}) = \varphi ( \lambda \vec{i}) + \varphi( \mu \vec{j}) = \lambda \cdot \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}](/images/math/c/b/c/cbc8e4ca1667a548a90fefaf562c9eae.png)
Bsp.: wird an O um gedreht.
![\vec{OP} = \lambda \vec{i} + \mu \vec{j} \rightarrow \varphi( \vec{OP'}) = \varphi ( \lambda \vec{i}) + \varphi( \mu \vec{j}) = \lambda \cdot \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix} \rightarrow 2 \cdot \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix} + 0,5 \cdot \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}](/images/math/2/b/c/2bcee50ecaabf6340df56a3c4a97dfed.png)
![\vec{OP'} = \begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha\\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2cos \alpha -0,5sin \alpha\\ 2sin \alpha + 0,5cos \alpha \end{pmatrix}](/images/math/9/1/6/916cfdb76f311db7625908d9080c51f5.png)
Drehungsmatrix:
![\begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha\\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \cdot cos \alpha -y \cdot sin \alpha\\ x \cdot sin \alpha + y \cdot cos \alpha \end{pmatrix}](/images/math/7/7/5/775a2e9e00cd499094052d4d51e85151.png)
Drehung als lineare Abbildung:
Behauptung: ist eine lineare Abbildung.
Zu zeigen:
(H) ist homomorph
(A) ist additiv
Geradenspiegelung
Zentrische Streckung
Isomorphe Vektorräume
Definition
Zwei Vektorräume sind isomorph zu einander, wenn sie durch eine bijektive lineare Abbildung aufeinander abgebildet werden können.
|