Definition
Beispiele
senkrechte Parallelprojektion auf die x-y-Ebene
![\varphi: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2](/images/math/d/a/7/da70780c88c55c7cd9c65fa8be18a3de.png)
![\forall \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}: \varphi \left( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\right)= \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}](/images/math/f/7/b/f7bdb46f6ef10a3772a4fa71acb8ffe6.png)
Man beweise: ist lineare Abbildung
Drehung
Drehungen um den Ursprung des Koordinatensystems
Drehung der kanonischen Basisvektoren
![\vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix}](/images/math/1/a/4/1a4aec97104b45f14909ed244f6b566b.png)
![\vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}](/images/math/e/9/1/e91476aa4e1410cb0cf1f59319e957a7.png)
![Drehung kanonische Basis.JPG](/images/thumb/d/db/Drehung_kanonische_Basis.JPG/300px-Drehung_kanonische_Basis.JPG)
Drehung anderer Vektoren:
![\vec{x} \rightarrow \varphi( \vec{x} )](/images/math/6/2/3/6230fe1b16424c2433ebc08f563b8d72.png)
![\vec{x} = \lambda \vec{i} + \mu \vec{j} \rightarrow \varphi( \vec{x}) = \varphi ( \lambda \vec{i}) + \varphi( \mu \vec{j}) = \lambda \cdot \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}](/images/math/c/b/c/cbc8e4ca1667a548a90fefaf562c9eae.png)
Bsp.: wird an O um gedreht.
![\vec{OP} = \lambda \vec{i} + \mu \vec{j} \rightarrow \varphi( \vec{OP'}) = \varphi ( \lambda \vec{i}) + \varphi( \mu \vec{j}) = \lambda \cdot \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix} \rightarrow 2 \cdot \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix} + 0,5 \cdot \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}](/images/math/2/b/c/2bcee50ecaabf6340df56a3c4a97dfed.png)
![\vec{OP'} = \begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha\\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2cos \alpha -0,5sin \alpha\\ 2sin \alpha + 0,5cos \alpha \end{pmatrix}](/images/math/9/1/6/916cfdb76f311db7625908d9080c51f5.png)
Drehungsmatrix:
![\begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha\\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \cdot cos \alpha -y \cdot sin \alpha\\ x \cdot sin \alpha + y \cdot cos \alpha \end{pmatrix}](/images/math/7/7/5/775a2e9e00cd499094052d4d51e85151.png)
Drehung um den Ursprung des Koordinatensystems als lineare Abbildung:
Behauptung: ist eine lineare Abbildung.
Zu zeigen:
(H) ist homogen
(A) ist additiv
Beweis zur Homogenität:
![\varphi ( \lambda \cdot \vec{x}) =
\varphi \begin{pmatrix} \lambda \cdot x_1 \\ \lambda \cdot x_2 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} \lambda \cdot x_1 \cdot cos \alpha -( \lambda \cdot x_2) \cdot sin \alpha\\ \lambda \cdot x_1 \cdot sin \alpha + \lambda \cdot x_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} \lambda \cdot (x_1 \cdot cos \alpha - x_2 \cdot sin \alpha) \\ \lambda \cdot (x_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha) \end{pmatrix} =
\lambda \cdot \begin{pmatrix} x_1 \cdot cos \alpha - x_2 \cdot sin \alpha \\ x_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\lambda \cdot \varphi ( \vec{x})](/images/math/4/a/e/4aea13d13ef4d9a2bd4906195bb24996.png)
Beweis zur Additivität:
Geradenspiegelung
Spiegelung an der x-Achse:
![\vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}](/images/math/6/f/9/6f902a1bad783a82b2c7edcbf277fe86.png)
![\vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}](/images/math/b/c/a/bca1ace3582a3c9364f82184df131d44.png)
Matrix für die Spiegelung an der x-Achse:
![\begin{pmatrix} 1 \ 0 \\ 0 \ -1 \end{pmatrix}](/images/math/d/e/a/deacf23c44315cb4988f639d15b7646d.png)
Spiegelung eine Punktes P an der x-Achse:
![\vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}](/images/math/1/2/8/12891ae2a00db20177568715dc429239.png)
![\varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \\ 0 \ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}](/images/math/d/7/8/d78cf2a73b358cc87baf9d42cd046f11.png)
Spiegelung an der x-Achse als lineare Abbildung:
Behauptung: ist eine lineare Abbildung.
Zu zeigen:
(H) ist homogen
(A) ist additiv
Beweis zur Homogenität:
Beweis zur Addidtivität:
--Jessy* 09:15, 16. Jan. 2013 (CET)
Spiegelung an der y-Achse:
![\vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}](/images/math/f/8/3/f838a59ef225cf0af9d76df9ada4f901.png)
![\vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}](/images/math/7/7/b/77ba4fef83fd953fbf3cdc872a0660aa.png)
Matrix für die Spiegelung an der y-Achse:
![\begin{pmatrix} -1 \ 0 \\ 0 \ 1 \end{pmatrix}](/images/math/d/0/3/d0385b4ac869ef896058a395a6f5e139.png)
Spiegelung eine Punktes P an der y-Achse:
![\vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}](/images/math/1/2/8/12891ae2a00db20177568715dc429239.png)
![\varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} -1 \ 0 \\ 0 \ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}](/images/math/4/0/d/40d01c8999de8db60852f0d32f7f1dde.png)
--Jessy* 09:15, 16. Jan. 2013 (CET)
Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden:
![\vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}](/images/math/f/4/8/f488a687b1923b79de6bd9ae7e093477.png)
![\vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}](/images/math/c/7/d/c7dff3c32051d82ae0903cdb9260c126.png)
Matrix für die Spiegelung an der 1. Winkelhalbbierenden:
![\begin{pmatrix} 0 \ 1 \\ 1 \ 0 \end{pmatrix}](/images/math/e/6/5/e652da4f01b2c3c2bdd8e6e85f125e76.png)
Spiegelung eine Punktes P an der 1. Winkelhalbbierenden:
![\vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}](/images/math/1/2/8/12891ae2a00db20177568715dc429239.png)
![\varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \\ 1 \ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}](/images/math/2/d/5/2d5ee12dfe53ab6eb34f83285d3cf790.png)
--Jessy* 09:16, 16. Jan. 2013 (CET)
Zentrische Streckung
Isomorphe Vektorräume
Definition
Zwei Vektorräume sind isomorph zu einander, wenn sie durch eine bijektive lineare Abbildung aufeinander abgebildet werden können.
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