Der Satz des Pythagoras - Eine didaktische Umsetzung

Im Folgenden eine Didaktische Umsetzung, damit der Satz des Pythagoras von den Schülern entdeckt und verstanden werden kann!

Wie kann man diesen Satz mit den Schülern erarbeitet?

Mein ehemaliger Mathelehrer in der 7. Klasse hat es auf diese Art und Weise probiert:

Rechtwinklige Dreiecke dürften euch bekannt sein! Nun kann man nach dem Satz des Pythagoras bei einem rechtwinkligen Dreieck bei welchem zwei bekannte Seiten vorhanden Sind die dritte Seite berechnen. Dies geht ganz einfach mit der Formel a² + b² = c²! Durch entsprechende Umformung lassen sich ebenfalls die Seite a oder b herausfinden. Ein ganz einfacher Satz, denn jetzt jeder von euch anwenden kann:

1. Berechne die Hypothenuse: a = 4 cm, b = 2 cm, usw.

Wenn man nun einen Schüler nach Zusammenhängen und Zustandekommen dieses Satzes fragen würde, würde höchst wahrscheinlich keiner eine Antwort geben können.

Warum?

Der Schüler hat keine Gelegenheit bekommen, sich mit dem Satz auseinander zu setzte, ihn zu analysieren, ihn zu verstehen, ihn zu entdecken. Gerade ein Satz wie der Pythagoras erfordert aber genau diese Vorgehensweise. Allerdings wird auch dieser Satz nach obigem Beispiel heute noch nach der Friss – Vogel – oder Stirb – Methode unterrichtet.

Wie könnte man es besser machen?

Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras:

Einstiegsproblem:

Aus einem Quadrat ein flächengleiches Parallelogramm und aus Parallelogramm ein flächengleiches Rechteck konstruieren.

Aus dem Quadrat über der Kathete b, soll ein flächengleiches Rechteck bei der Hypothenuse errichtet werden:

Ausgangskonfiguration	Schritt 1	Schritt 2	Schritt 3
Dem Schüler ist das rechtwinklige Dreieck gegeben mit dem Kathenquadrat über der Seite b	Durch Parallelenverschiebung erhält man ein zu a² flächengleiches Parallelogramm ABD'E	Das Parallelogramm ABD'E wird am Punkt A um 90° nach untern verschoben	Durch eine weitere Parallelenverschiebung erhält man ein zu dem Parallelogramm ABD'E flächengleiches Rechteck AC'DB'.

Erstellt man ebenfalls ein flächengleiches Rechteck zum Kathetenquadrat über der Seite a entsteht die bekannte Pythagorasfigur:




Der Kathensatz liefert uns: 1) Ergebniss a²=c*p
2) Ergebniss b²=c*q
Wodurch man den Satz des Pythagoras ableiten kann: Beweis:
1) EA II BC
2) Quadrat ACDE ist Flächengleich zu dem Parallelogramm ABC’E
2) Parallelogramm um 90° bei A gedreht
3) AB‘ II CC`` somit ist das Parallelogramm flächenglich zum Rechteck
4) das gleiche mit der Seite b
Vermutung = a² + b² = cp + cq = c(p+q) = c²


Starke Deduktive Vorgehensweise: Gewinnung des Satzes bei gleichzeitiger Sicherung seiner Wahrheit.
Daher hat man die Satzfindung und seinen Beweis in eine gemeinsame Phase gepackt! Besitz der durchschnittliche Sekundarstufe I Schüler nun dieses Abstraktionsniveau um sich über den eigentlichen Zusammenhang des Satz des Pythagoras im Klaren zu sein? Wohl eher nicht.
Er konnte zwar handeln, aber Sinnzusammenhänge konnten an diesem Beispiel nicht wirklich erarbeitet werden.

Somit ist im Falle des Pythagoras auch diese Vorgehensweise nicht die Ideale.

Einstiegsproblematik:

Die Seiten a und b können direkt über die Katheten abgelesen werden, die Hypotenuse nicht. Gibt es eine Möglichkeit die Hypotenuse über die Katheten auszurechnen? Stehen sie in einer gemeinsamen Beziehung?

Die Reduktiven Methoden zur Satzfindung

Durch diese Art der Satzfindung,wird dem Schüler eine tätsächliche Findung der Funktionszusammenhänge ermöglicht. Nur so kann es einem gelingen, einen entscheidenden Lernprozess beim Schüler zu initiieren die letztendlich dem Schüler darin unterstützen, die einzelnen Zusammenhänge auch tatsächlich verstehen zu können.

1) Induktion:

Die Induktion ist das Schließen vom Einzelfall auf die Allgemeinheit. Konkret: Durch das Ausmessen einzelner rechtwinkliger Dreiecke und dem Impuls diese Seitenlängen zu quadrieren, kann der Schüler den Funktionszusammenhang selber entdecken.

Arbeitsblatt mit verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken und einer Tabelle die ausgefüllt werden soll:

Dreieck	Seite a	Seite b	Seite c	a²	b²	c²	a² + b²
1	2	4	5	9	16	25	25

2)Funktionale Betrachtung

Die Wahrscheinlich eleganteste Möglichkeit den Satz des Pythagoras zu entdecken und ihn vor allem zu veranschaulichen, bietet die funktionale Betrachtung. Im Idealfall mit einem DGS wie z.B. Geogebra. Da es hier möglich ist, eine Größe in Abhängigkeit einer anderen Größe direkt zu vergleichen. Durch diese Abhängigkeit kann man nun direkte Schlüsse auf den Satz ziehen.

Die erste Funktionale Betrachtung bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke:

In einem weiteren Schritt wird überprüft, ob die Erkentniss von den rechtwinkligen Dreiecken auch bei allgmeinen Dreiecen gilt:

Erkenntnisgewinn: Die Flächen von a² + b² sind identsich mit der Fläche von c² und dies scheint nur bei rechtwinkligen Dreiecken zu gelten.