Lösung von Aufgabe 6.10
Der folgende Satz bezieht sich auf die ebene Geometrie.
Satz:
- Es seien
und
zwei Kreise mit den Mittelpunkten
bzw.
und den Radien
bzw.
.
- Es seien
Die Kreise und
haben dann und nur dann einen und nur einen Punkt
gemeinsam, wenn
gilt.
- Formulieren Sie den Satz ohne die Verwendung der Phrasen dann und nur dann sowie einen und nur einen.
- Sie haben sicherlich erkannt, dass es sich bei dem Satz um eine Äquivalenz handelt. Formulieren Sie die beiden Implikationen, die diese Äquivalenz beinhaltet.
- Beweisen Sie die beiden Implikationen.
Inhaltsverzeichnis |
Lösung der Aufgabe --*m.g.* 09:08, 21. Jun. 2010 (UTC)
Teilaufgabe 1
Die Formulierung "eine und nur eine" ist äquivalent zu "genau eine".
Die Lösung von Heinzvaneugen kann also 1 zu 1 übernommen werden:
Die Kreise und
haben genau dann genau einen Punkt
gemeinsam, wenn
gilt.
Teilaufgabe 2
Die Lösung von Heinzvaneugen ist korrekt.
allgemeiner Teil für beide Implikationen
Es seien und
zwei Kreise mit den Mittelpunkten
bzw.
und den Radien
bzw.
.
Implikation I (-->)
Wenn , dann haben die beiden Kreise
und
genau einen Punkt gemeinsam.
andere möglich Formulierung (neben vielen weiteren, die hier nicht alle aufgezeigt werden sollen und können):
Wenn für zwei Kreise gilt, dass die Summe der Längen ihrer Radien gleich dem Abstand ihrer Mittelpunkte ist, dann existiert genau ein Punkt , den die beiden Kreise gemeinsam haben.
(Der allgemein Teil zuvor ist hier mit aufgenommen und hätte nicht extra formuliert werden müssen.)
Implikation II (<--)
Wenn und
genau einen Punkt gemeinsam haben, so gilt
.
Bemerkung zu der Formulierung von Heinzvaneugen:
Sie formulieren: Wenn zwei Kreise und
... .
Die beiden Kreise wurden aber vorab schon festgelegt. Es seien und
... . Jetzt bleiben wir natürlich in den weiteren Formulierungen bei diesen zunächst beliebigen, dann aber festen Kreisen. Also besser: Wenn die Kreise
und
... . Oder: Wenn
und
... .
Teilaufgabe 3
Beweis von Implikation I
Voraussetzung
Behauptung 1 (Existenzaussage)
Es gibt einen Punkt , der sowohl zu
als auch zu
gehört.
Behauptung 2 (Eindeutigkeitsaussage)
Es gibt nicht mehr als einen Punkt den
und
gemeinsam haben.
Beweis der Existenzaussage (Behauptung 1)
Nachzuweisen ist die Existenz eines Punktes der sowohl zu
als auch zu
gehört.
Der Kreis ist die Menge aller Punkte unserer Ebene, die zu dem Punkt
den Abstand
haben.
Der Kreis ist die Menge aller Punkte unserer Ebene, die zu dem Punkt
den Abstand
haben.
Wir haben also die Existenz eines Punktes nachzuweisen, für den gilt:
und
Wir konstruieren uns einen solchen Punkt wie folgt:
Wir gehen von dem Strahl aus.
Auf gibt es nach dem Axiom vom Lineal genau einen Punkt
, der zu
den Abstand
hat:
Jetzt gilt: (*) Der Punkt liegt zwischen den Punkten
und
Begründung von (*):
- Annahme:
- Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass
ein Punkt der Halbgeraden
ist, kann jetzt nur noch
gelten:
- Annahme:
-
bedeutet: (**)
- Der Punkt
wurde so gewählt, dass sein Abstand
die Zahl
ist, womit (**) auch wie folgt geschrieben werden kann:
- (***)
- Unter Berücksichtigung der Voraussetzung
gilt entsprechend (***) auch (****)
-
bisherige Diskussionen
1. Reicht es, wenn man mit "genau" arbeitet?
Die Kreise und
haben genau dann genau einen Punkt
gemeinsam, wenn
gilt.
2. I) Wenn gilt, dann haben die beiden Kreise
und
genau einen Punkt gemeinsam, den Berührpunkt S.
II) Wenn zwei Kreise und
genau einen Punkt gemeinsam haben, so gilt
3. Beweisen Sie die beiden Implikationen Teil 1
I)
- Skizze
- Vorraussetzung: Die Strecke
ist so lang wie die Summe der beiden Radien
und
.
- Behauptung: Die beiden Kreisen haben genau einen gemeinsamen Punkt.
- Gegen-Behauptung (1): Es gibt KEINEN gemeinsamen Punkt
- Gegen-Behauptung (2): Es gibt MEHR ALS EINEN gemeinsamen Punkt.
- Indirekter Beweis:
- (1) Die Strecke
setzt sich zusammen aus den Strecken
und
, wobei
zwischen
und
liegt. (Definition II.1: (Zwischenrelation): Ein Punkt
liegt zwischen zwei Punkten
und
, wenn
gilt (...) ).
- Dieser Punkt C liegt "außerhalb" beider Kreise (Gegen-Behauptung (1) )
- Dadurch ist die Strecke
größer als der Radius von
, und die Strecke
größer als der Radius von
(
)
- Daraus resultiert:
(Widerspruch zu Vorraussetzung und Schritt 1, da
)
- (2) Analog, nur bei der Strecken-Ungleichung muss dann der Radius jeweils größer als die Strecke
bzw.
sein. (
)
- (1) Die Strecke
- Dadurch haben wir beweiesen, dass Gegen-Behauptung (1) und (2) zu Widersprüchen führen und nur die Behauptung "Die beiden Kreisen haben genau einen gemeinsamen Punkt" gültig ist. Oder...?
3. Beweisen Sie die beiden Implikationen Teil 2
II)....
--Heinzvaneugen