Diskussion:Halbebenen oder das Axiom von Pasch

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Beweis des Satzes IV.1

Voraussetzung: $Q_2 \in {gQ_1}^{+}$
Behauptung: ${gQ_1}^{+} \equiv {gQ_2}^{+}$ und ${gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}$

Schritt	Aussage	Begründung
(1)	${gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_1} \} \cup \{g\}$ Die Strecke $\overline {PQ_1}$ schneidet nicht die Trägergerade g.	Definition von Halbebene
(2)	$Q_2 \in {gQ_1}^{+}$ $Q_2$ liegt in der Halbebene ${gQ_1}^{+}$	Voraussetzung
(3)	$P,Q_1,Q_2 \in {gQ_1}^{+}$	Schritt (1) und (2)
(4)	Die Strecke $\overline {PQ_2}$ schneidet nicht die Trägergerade g.	Schritt (3), Definition von Halbebene
(5)	${gQ_2}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup \{g\}$	Schritt (4)
(6)	Es gilt: ${gQ_2}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup \{g\}$ und ${gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup \{g\}$|| Voraussetzung und Schritt (5)
(7)	${gQ_1}^{+} \equiv {gQ_2}^{+}$	Der Definitionsbereich der beiden Halbebene ist identisch - Schritt (6)
(8)	${gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}$	Die Mengen ${gQ_1}^{+}$ und ${gQ_1}^{-}$sind disjunkt, gleiches gilt für die Mengen ${gQ_2}^{+}$ und ${gQ_2}^{-}$Schritt (7) - Durch Umformung: Ebene$\Epsilon = {gQ_1}^{+} \cup {gQ_1}^{-} \cup g$ Ebene$\Epsilon = {gQ_2}^{+} \cup {gQ_1}^{-} \cup g$ Da Ebene$\Epsilon = {gQ_2}^{+} \cup {gQ_2}^{-} \cup g$ gilt somit auch ${gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}$

Stimmt das so? --Heinzvaneugen 12:23, 23. Jun. 2010 (UTC)

Also, Punkt (4) ist ja eigentlich das, was Sie zeigen wollen, denn wenn die Strecke $\overline PQ_2$ die Trägergerade g nicht schneidet, dann gilt dies ja für jedes beliebige ${Q_2}$ und das heißt, dass Sie statt ${Q_1}$ auch ${Q_2}$ als Repräsentanten ihrer Halbebene nehmen können. Soweit so gut, allerdings können Sie das nicht einfach aus der Definition der Halbebene schließen, weil sie diesen Zusammenhang ja erst noch zeigen müssen (typischer Fall eines Zirkelschlusses). Sie kommen nicht umhin, das Axiom von Pasch an dieser Stelle mit einzubeziehen! Damit wir Pasch verwenden dürfen, müssen wir allerdings voraussetzen, dass P, ${Q_1}$ und ${Q_2}$ nicht kollinear sind. Der kollineare Fall ist dann nochmal getrennt zu untersuchen, lässt sich dann aber über die Zwischenrelation und über Teilmengenbeziehungen leicht beweisen.--Schnirch 13:59, 23. Jun. 2010 (UTC)