Diskussion:Halbebenen oder das Axiom von Pasch
Alte Version
Beweis des Satzes IV.1
Voraussetzung:
Behauptung: und
Schritt | Aussage | Begründung |
(1) | Die Strecke schneidet nicht die Trägergerade g. |
Definition von Halbebene |
(2) | liegt in der Halbebene |
Voraussetzung |
(3) | Schritt (1) und (2) | |
(4) | Die Strecke schneidet nicht die Trägergerade g. |
Schritt (3), Definition von Halbebene |
(5) | Schritt (4) | |
(6) | Es gilt: und
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(7) | Der Definitionsbereich der beiden Halbebene ist identisch - Schritt (6) | |
(8) | Die Mengen und sind disjunkt, gleiches gilt für die Mengen und Schritt (7) - Durch Umformung:
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Stimmt das so? --Heinzvaneugen 12:23, 23. Jun. 2010 (UTC)
Also, Punkt (4) ist ja eigentlich das, was Sie zeigen wollen, denn wenn die Strecke die Trägergerade g nicht schneidet, dann gilt dies ja für jedes beliebige und das heißt, dass Sie statt auch als Repräsentanten ihrer Halbebene nehmen können. Soweit so gut, allerdings können Sie das nicht einfach aus der Definition der Halbebene schließen, weil sie diesen Zusammenhang ja erst noch zeigen müssen (typischer Fall eines Zirkelschlusses). Sie kommen nicht umhin, das Axiom von Pasch an dieser Stelle mit einzubeziehen! Damit wir Pasch verwenden dürfen, müssen wir allerdings voraussetzen, dass P, und nicht kollinear sind. Der kollineare Fall ist dann nochmal getrennt zu untersuchen, lässt sich dann aber über die Zwischenrelation und über Teilmengenbeziehungen leicht beweisen.--Schnirch 13:59, 23. Jun. 2010 (UTC)