Lösung von Aufgabe 7.10

Beweisen Sie: Jede Strecke hat höchstens einen Mittelpunkt.

A--M--B

Voraussetzung: koll(A, M, B), zw (A, M, B), $\overline{AM}$ = $\overline{MB}$

(gemeint ist: $\vert AM \vert = \vert MB \vert$) --Sternchen 13:25, 10. Jun. 2010 (UTC)

zu zeigen: Es gibt nur einen Punkt M, auf den die o.g. Sachverhalte zutreffen.

M = Mittelpunkt, da Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke)

$\overline{AM}$ ist eindeutig für $\overline{AB}$ definiert Axiom II.1: (Abstandsaxiom)

--Nicola 13:52, 6. Jun. 2010 (UTC)

noch ein Versuch:
Satz III.1: Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt.
1. Existenzbeweis bereits in der Vorlesung geführt.
2. Eindeutigkeitsbeweis: Jede Strecke hat höchstens einen Mittelpunkt.
Annahme: Es existieren zwei verschiedene Mittelpunkte $M_1$ und $M_2$, die Element von $\overline { AB }$ sind.

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$\exist M_1 \in \overline { AB }: \left| AM_1 \right| = \left| M_1B \right|$ $\exist M_2 \in \overline { AB }: \left| AM_2 \right| = \left| M_2B \right|$	Annahme
(II)	$\operatorname{Zw} \left( A, M_1, B \right)$ $\operatorname{Zw} \left( A, M_2, B \right)$	(I), Existenzbeweis, Def. (zw)
(III)	$\left| AM_1 \right| + \left| M_1B \right| = \left| AB \right|$ $\left| AM_2 \right| + \left| M_2B \right| = \left| AB \right|$	Def (zw), (II)
(IV)	$2\left| AM_1 \right| = \left| AB \right|$ $2\left| AM_2 \right| = \left| AB \right|$	(I), (III), Rechnen in $\mathbb{R}$
(V)	$\left| AM_1 \right|= {\left| AB \right| \over 2}$ $\left| AM_2 \right|= {\left| AB \right| \over 2}$	Rechnen in $\mathbb{R}$, (IV)
(VI)	$\left| AM_1 \right|= \left| AM_2 \right|$	(V), Rechnen in $\mathbb{R}$
(VII)	$M_1 \equiv M_2$ Widerspruch zur Annahme$M_1 \not\equiv M_2$ Es existiert höchstens ein Mittelpunkt der Strecke $\overline { AB }$.	(VI)

--Maude001 13:16, 20. Jun. 2010 (UTC)