Lösung von Aufgabe 5.04 S SoSe 13

Aufgabe 5.04 Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden. Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien $A$, $B$ und $C$ drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn $A$,$B$ und $C$ … , dann … .“ Beweisen Sie Satz I indirekt mit Widerspruch. Bilden Sie die Kontraposition von Satz I. Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I. Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I. Gilt auch die Umkehrung von Satz I? Lösung User --Userin24 20:37, 28. Mai 2013 (CEST) 1. Es seien A, B und C drei Punkte. Wenn A, B und C nicht kollinear sind, dann sind sie paarweise verschieden. 2. Annahme: A, B und C sind nicht paarweise verschieden Annahme impliziert: mind. 2 Punkte sind identisch Widerspruch zur Voraussetzung, dass A, B und C kollinear sind 3. Wenn A, B und C kollinear sind, dann sind sie nicht paarweise verschieden. 4. koll(A, B, C) impliziert: es gibt eine Gerade g, mit der alle drei Punkte inzidieren A, B und C sind deshalb nicht paarweise verschieden. 5. A, B und C sind paarweise verschieden, wenn sie nicht kollinear sind. 6. Ja --Userin24 20:37, 28. Mai 2013 (CEST) Bemerkung --*m.g.* 23:12, 28. Mai 2013 (CEST) 1. korrekt 2. Der Ansatz geht in Ordnung, es bedarf einer genaueren Begründung. 3. korrekt 4. wie bei 2. 5. Das ist nicht die Umkehrung.(auch wenn es zunächst so aussieht) 6. Folgefehler, da 5. nicht korrekt gelöst. Lösung User ... zu 2. Annahme: Drei Punkte A,B,C sind nicht paarweise verschieden. $\Rightarrow$ $\ A = B \vee A = C \vee B = C$ 1. Fall: A = B = C $\Rightarrow$ Widerspruch zu Axiom I/2 $\Rightarrow$ nkoll(A,B,C) $\Rightarrow$ Widerspruch zur Voraussetzung 2. Fall: nur zwei der drei Punkte sind identisch (o.B.d.A. A = B $\neq$ C) $\Rightarrow$ (Axiom I/2) $\exists$Gerade g: A $\in$ g $\wedge$ C $\in$ g (Gerade {A,C}) $\exists$Gerade h: B $\in$ h $\wedge$ C $\in$ h (Gerade {B,C}) Da wir A = B angenommen haben, folgt daraus g = h. Das ist aber ein Widerspruch zu Axiom I.1. --Illu13 21:48, 30. Mai 2013 (CEST) Lösung User ... zurück zu Serie 5 SoSe 2013