Winkelmessung

Das Winkelmaß

Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen?

Länge einer Strecke	Größe eines Winkels
nichtnegative reelle Zahl	reelle Zahl zwischen 0 und 180

Das Winkelmaßaxiom

Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom)

Zu jedem Winkel $\ \alpha$ gibt es genau eine reelle Zahl $\ \omega$ zwischen 0 und 180.

Definition V.5: (Größe eines Winkels)

Die Zahl $\ \omega$, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel $\ \alpha$ eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von $\ \alpha$ genannt.
In Zeichen: $\omega = \left| \alpha \right|$.

Winkelkonstruktion

Existenz und Eindeutigkeit des Winkelantragens

Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom)

Es sei $\ g \equiv SA$ eine Gerade in der Ebene $\ \Epsilon$. Zu jeder reellen Zahl $\ \omega$ mit $\ 0 < \omega < 180$ gibt es in jeder der beiden durch $\ g$ bestimmten Halbebenen der Ebene $\ \Epsilon$ genau einen Strahl $\ SB^+$ mit $\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|$

Winkeladdition

Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)

Wenn der Punkt $\ P$ zum Inneren des Winkels $\ \angle ASB$ gehört , dann gilt $\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|$.

Satz V.2

Wenn der Punkt $\ P$ im Inneren des Winkels $\ \angle ASB$ und nicht auf einem der Schenkel des Winkels $\ \angle ASB$ liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel $\ \angle ASP$ und $\ \angle PSB$ jeweils kleiner als die Größe des Winkels $\ \angle ASB$.

Rechte Winkel

Definition V.6 : (Rechter Winkel)

Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

Definition V.7 : (Supplementärwinkel)

Zwei Winkel, deren Größen zusammen 180 ergeben, sind supplementär.

Axiom IV.4: (Supplementaxiom)

Nebenwinkel sind supplementär.

Satz V.3 : (Existenz von rechten Winkeln)

Es gibt rechte Winkel.

Beweis von Satz V.3 :

Wir haben zu zeigen, dass wenigstens ein rechter Winkel existiert.

Nach Definition V.6 ist ein rechter Winkel ein solcher, der das selbe Maß wie einer seiner Nebenwinkel hat.

Das Supplementaxiom (Axiom IV.4) besagt, dass die Summe der Größen zweier Nebenwinkel in jedem Fall 180 beträgt.

Wenn es denn einen rechten Winkel gäbe, so müsste dessen Maß die Hälfte von 180 sein.

Wenn es uns gelänge nachzuweisen, dass es einen Winkel der Größe 90 gibt, so wären wir eigentlich mit unserem Beweis fertig.

In der Tat gibt es einen derartigen Winkel: Das Axiom IV.2 (Winkelkonstruktionsaxiom) besagt, dass es in jeder der beiden Halbebenen einer Ebene bezüglich etwa der Geraden $\ SA$ zu jeder beliebigen Zahl zwischen 0 und 180 genau einen Winkel $\ \angle ASP$ gibt, dessen Größe gerade die Zahl zwischen 0 und 180 ist. Die Zahl 90 ist größer als 0 und kleiner als 180 und demzufolge als Winkelmaß zulässig.

Satz V.4 :

Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

Beweis von Satz V.4 :

Schreiben Sie das Skript selbst. Das Video ist als Hilfe zu verstehen.

Beweis:
Voraussetzung: Ein Winkel hat die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel (Definition V.6): $\alpha = \beta$
Behauptung: Jeder dieser rechten Winkel hat die Größe 90.
Anmerkung: Die Existenz von rechten Winkeln (Satz V.3) wird als gegeben angenommen.

Schritt	Aussage	Begründung
(1)	Der rechte Winkel und sein Nebenwinkel (gleich groß!) sind supplementär.	nach Voraussetzung und Axiom IV.4: (Supplementaxiom) - Nebenwinkel sind supplementär.
(2)	Die Größen von zwei supplementären Winkel ergeben zusammen 180.	(Zulässige?) Umkehrung der Definition V.7 : (Supplementärwinkel)
(3)	$\alpha + \beta = 180$	Nach (1), (2)
(4)	$\alpha + \alpha = 180$ $2 \alpha = 180$ $\alpha = 90$ $\rightarrow \beta = 90$	Nach Voraussetzung ($\alpha = \beta$) und (3) algebraische Umformung algebraische Umformung Nach Voraussetzung ($\alpha = \beta$)

--Heinzvaneugen 13:46, 23. Jun. 2010 (UTC)

Eigentlich steckt in der Problematik rechte Winkel/90 eine Äquivalenz. Können sie diese formulieren?
Ein Versuch:
Wenn ein Winkel die Größe 90 hat (wenn er 90° beträgt), so ist es ein rechter Winkel und umgekehrt.
Der Winkel hat die Größe 90$\Leftrightarrow$Rechter Winkel (Äquivalenzrelation) --Heinzvaneugen 13:46, 23. Jun. 2010 (UTC)
Ein zweiter Versuch:
Ein Winkel ist genau dann ein rechter Winkel, wenn er die Größe 90 hat. --TimoRR 13:26, 26. Jun. 2010 (UTC)

Die Relation Senkrecht auf der Menge der Geraden

Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden)

Es seien $\ g$ und $\ h$ zwei Geraden. Wenn sich $\ g$ und $\ h$ schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden $\ g$ und $\ h$ senkrecht aufeinader.

In Zeichen: $\ g \perp \ h$ (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

Bemerkung: Testen Sie ob die Definition korrekt ist: Warum muss nicht gefordert werden, dass die beiden Geraden komplanar sind?
Geraden sind eindimensionale Objekte. Ebenen sind zweidimensionale Objekte. Wenn Geraden komplanar sind, dann liegen alle Punkte (mindestens 2, da sonst keine Gerade) auf dieser Geraden in einer Ebene. Da wir uns aber bei dem Schnitt zweier Geraden immer noch in einer Dimension befinden und die Geraden per Definition jeweils aus mindestens 2 verschiedenen Punkten bestehen, benötigen wir nicht die Forderung nach komplanaren Geraden. (Beim zweiten Satz bin ich noch etwas unsicher --TimoRR 13:55, 26. Jun. 2010 (UTC)
Oder anders ausgedrückt: Nach Axiom I/2 enthält jede Gerade wenigstens zwei verschiedene Punkte. Seien das für die Gerade g die Punkte A und S und für die Gerade h die Punkte B und S. S sei dann der Schnittpunkt der Geraden g und h. Wir haben somit drei paarweise verschiedene Punkte. Naxch Axiom I/4 existiert damit genau eine Ebene, die diese Punkte enthält. Die Geraden g und h sind also komplanar. --Maude001 11:40, 27. Jun. 2010 (UTC)

Definition V.9 : (noch mehr Senkrecht)

Eine Gerade $\ g$ und eine Strecke $\overline{AB}$ stehen senkrecht aufeinander, wenn die $\ g$ und die Gerade $\ AB$ senkrecht aufeinander stehen.

Ergänzen Sie:

Eine Strecke $\ \overline{AB}$ und eine Strecke $\ \overline{CD}$ stehen senkrecht aufeinander, wenn ... .

Eine Gerade $\ g$ und eine Ebene $\epsilon$ stehen senkrecht aueinander, wenn es in $\epsilon$ ... .

Eigenschaften der Relation senkrecht

1. Die Relation eine Gerade steht senkrecht auf einer anderen Geraden hat die folgenden Eigenschaften:

	Sie ist reflexiv.
	Sie ist symmetrisch.
	Sie ist transitiv.
	Sie ist keine Äquivalenzrelation.
	Sie erzeugt eine Klasseneinteilung auf der Menge aller Geraden.
	Zwei Geraden sind entweder identisch oder stehen senkrecht aufeinander.

Punkte: 0 / 0

Satz V.5: (Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten zu einer Geraden auf einem Punkt dieser Geraden)

Es sei $\ g$ eine Gerade der Ebene $\ \Epsilon$. Ferner sei $\ P$ ein Punkt auf $\ g$. In der Ebene $\ \Epsilon$ gibt es genau eine Gerade $\ s$, die durch $\ P$ geht und senkrecht auf $\ g$ steht.

Beweis von Satz V.5

Übungsaufgabe