Lösung von Zusatzaufgabe 11.2P (SoSe 13)
Beweisen Sie Satz IX.9:
Gegeben seien zwei zueinander parallele Spiegelgeraden a und b. Wir betrachten die Verkettung . Jeder Punkt P hat dabei zu seinem Bildpunkt einen Abstand der doppelt so groß ist wie der Abstand der beiden Spiegelgeraden.
Hinweis: Hier genügt ein exemplarischer Beweis für eine mögliche Lage von P. Nehmen wir doch mal an, P und seine Spiegelpunkte liegen so:
--Tutorin Anne 17:30, 12. Jul. 2013 (CEST)
Voraussetzung | ... |
Behauptung | .... |
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
1 | ...) | ... |
2 | ... | ... |
3 | ... | ... |
4 | ... | ... |
... | ... | ... |
... | ... | ... |
Sorry, habe währenddessen eine eigene Version erarbeitet.
Ist eine solche ausführliche Voraussetzung erlaubt?
Der Beweis ist sehr lang geworden.
Voraussetzung:
Sa∘Sb(P) = P(zweistrich) mit a || b
mit koll(P,P',P(zweistrich)
mit P,P',P(zweistrich) ∈ g
mit g ⊥ a ∧ g ⊥ b
mit g ∩ a = {M} ∧ g ∩ b = {N} --Nolessonlearned 18:17, 12. Jul. 2013 (CEST)
Behauptung:
|P͞P(zweistrich)| = 2|ab| ≌ 2(|MP'| + |P'N|) --Nolessonlearned 18:17, 12. Jul. 2013 (CEST)
Beweisschritt | Begründung | |
---|---|---|
1) | koll(P,P',P(zweistrich) | Eigenschaft GS; Voraussetzung |
2) | P' = Sa(P) | Def. GS; Voraussetzung |
3) | P(zweistrich) = Sb(P') | Def. GS; Voraussetzung |
4) | P͞M͞| ≌ |M͞P͞'| | (1); (2); Voraussetzung; Streckentreue d. GS bzw. Abstandserhaltung |
5) | P͞'N͞| ≌ |N͞P͞|(zweistrich) | (1); (2); (3); Voraussetzung; Streckentreue d. GS bzw. Abstandserhaltung |
6) | M͞P͞'| + |P͞'N͞| = |ab| | (4); (5); Streckenaddition bzw. Abstandsaddition; Rechnen in ℝ |
7) | P͞M͞| ≌ |N͞P͞|(zweistrich) ≌ |M͞P͞'| + |P͞'N͞| | (4); (5); (6); Streckenaddition bzw. Abstandsaddition; Rechnen in ℝ; Eigenschaft der Translation |
8) | M͞P͞'| + |P͞'N͞|) ≌ |P͞P͞|(zweistrich) | (6); (7); Streckenaddition bzw. Abstandsaddition; Rechnen in ℝ; Eigenschaft der Translation |
9) | P͞P͞|(zweistrich) ≌ 2|ab| | (6); (7); (8) q.e.d |