Lösung von Aufgabe 12.2P (SoSe 13)
Zeigen Sie, dass die Verkettung dreier Punktspiegelungen wieder eine Punktspiegelung ist.
- Ich habe eine Frage dazu: Wir haben in der Vorlesung uns aufgeschrieben dass es 3 Möglichkeiten geben kann: a II b II c
oder a geschnitten b geschnitten c = (S) oder a II b und c ist nicht parallel zu a
--> Welchen Fall muss ich jetzt betrachten? Oder reicht es aus wenn ich sage, dass die Verkettung dreier P.spiegelungen wieder eine Pkt. ist mit der Begründung VERSCHIEBUNG?--Blumenkind 13:41, 13. Jul. 2013 (CEST)Blumenkind 13:39, 13. Juli
Voraussetzung:--Nolessonlearned 15:44, 13. Jul. 2013 (CEST)
Sa∘Sb∘Sc∘Sd
mit Sa∘Sb ≔ D(M,180), a ∩ b = {M}, a ⊥ b
mit Sc∘Sd ≔ D(N,180), c ∩ d = {N}, c ⊥ d
mit Se∘Sf ≔ D(O,180), e ∩ f = {O}, e ⊥ f
Behauptung:--Nolessonlearned 15:44, 13. Jul. 2013 (CEST)
Sb``∘Sf mit b``⊥ f
| Beweisschritt | Begründung | |
|---|---|---|
| 1) | Sa'∘Sb' mit D(M,180),
a' ⊥ b' ∧ b' || c |
Eigenschaft d. Punktspiegelung; Voraussetzung |
| 2) | Sc'∘Sd' ≔ D(N,180),
c' ⊥ d' ∧ c' || b' ∧ d' = a' (Identität) |
(1); Eigenschaft d. Punktspiegelung;
Voraussetzung; Def. involutorische Abbildung |
| 3) | Sb``∘Sc'
mit b`` || c' ∧ c' = e (Identität) |
(1); (2); Identität, Eigenschaft d. Translation;
Def. involutorische Abbildung |
| 4) | Sb``∘Sf ≔ D(O,180)
mit b`` ⊥ f |
(2); (3); Eigenschaft d. Punktspiegelung;
q.e.d. |
