Lösung von Aufgabe 10.4P (SoSe 13)

Aus Geometrie-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche

Beweisen Sie Satz IX.3: Bei einer Punktspiegelung ist der Schnittpunkt S der beiden Spiegelgeraden a und b Mittelpunkt der Strecke \overline{PP''}, mit P''=S_a\circ S_b(P) .


Voraussetzung:
a ∩ b = {S} ∧ a ⊥ b --Nolessonlearned 18:24, 13. Jul. 2013 (CEST)

Behauptung:
S ist Mittelpunkt von P͞,P͞``
mit P``= Sa∘Sb(P) --Nolessonlearned 18:24, 13. Jul. 2013 (CEST)


Beweisschritt Begründung
1) ∃m: m ∩ a ∩ b = {S} Voraussetzung;

Konstruktion der Gerade m

2) Es existiert Q Element von m: Q͞P kongruent Q͞P͞`` (1); Mittelsenkrechtenkriterium
3) m senkrecht P͞P͞`` (2); Def. Mittelsenkrechte
4) S ist Mittelpunkt von P͞P͞`` (1); (2); (3); Voraussetzung
--Nolessonlearned 18:24, 13. Jul. 2013 (CEST)
  • Anne könntest du mir mal wieder mit der Tabellendarstellung helfen?!--Nolessonlearned 14:19, 14. Jul. 2013 (CEST)


Voraussetzung a⊥b ∧ a∩b = {S} ∧ Sa∘Sb(P)= P``
Behauptung IPSI = ISPI


Nr. Beweisschritt Begründung
1 Drehe a⊥b so das P \in a und S fest Vor. ; Def. Punktspiegelung ; IX.3
2 Sa(P) = P' = P 1.) ; Def. Geradenspiegelung
3 Sb(P') = P`` mit P`` \in a 2.) ; a ist Fixgerade Sb
4 IPSI = ISP``I 3.) ; Def. Geradenspiegelung
5 S = Mittelpunkt IPP``I 4.) ; Def. Mittelpunkt

--Wüstenfuchs 20:42, 15. Jul. 2013 (CEST)