Lösung von Aufgabe 10.4P (SoSe 13)

Beweisen Sie Satz IX.3: Bei einer Punktspiegelung ist der Schnittpunkt S der beiden Spiegelgeraden a und b Mittelpunkt der Strecke $\overline{PP''}$, mit $P''=S_a\circ S_b(P)$.

Voraussetzung:
a ∩ b = {S} ∧ a ⊥ b --Nolessonlearned 18:24, 13. Jul. 2013 (CEST)

Behauptung:
S ist Mittelpunkt von P͞,P͞``
mit P``= Sa∘Sb(P) --Nolessonlearned 18:24, 13. Jul. 2013 (CEST)

Beweis von Nolessonlearnd

	Beweisschritt	Begründung
1)	∃m: m ∩ a ∩ b = {S} mit m ≠ a,b	Voraussetzung; Konstruktion der Gerade m
2)	Es existiert Q Element von m: Q͞P kongruent Q͞P͞``	(1); Mittelsenkrechtenkriterium
3)	m senkrecht P͞P͞``	(2); Def. Mittelsenkrechte
4)	PS| = |SP'|	(3); Mittelsenkrechtenkriterium
5)	S ist Mittelpunkt von P͞P͞``	(1); (2); (3); (4); Voraussetzung

--Nolessonlearned 18:24, 13. Jul. 2013 (CEST)

Kreative Beweisidee. Zwei Probleme fallen mir auf:
1. Du kannst nicht erst die GErade m konstruieren (dann ist sie bereits fest) und sie dann später als Mittelsenkrechte deuten. (Schritt 2 und 3) - > Diese Schwierigkeit lässt sich leicht beheben.
2. Du kannst nicht in Schritt 5 sagen, dass S Mittelpunkt von PP´´ ist, da dafür laut Def. Mittelpunkt zwei Dinge erfüllt sein müssen: 1. $S \in \overline{PP''}$ und $|PS|=|P''S|$. Ersteres hast du noch nicht gezeigt. --Tutorin Anne 14:04, 16. Jul. 2013 (CEST)
Neuer Versuch

	Beweisschritt	Begründung
1)	$\exists Q:\ Q\ \not\in\ a,b\ \wedge\ QS\ \cap\ a\ \cap\ b\ =\ \left\{ {S} \right\}$	Voraussetzung; Konstruktion der Gerade QS
2)	$P''\ =\ Sa\ o\ Sb(P)$	Eigenschaft der Punktspiegelung
3)		(1); (2); Mittelsenkrechtenkriterium
4)		(1); (2); (3); Def. Mittelsenkrechte
5)		Def. Zwischen; Eigenschaft der Mittelsenkrechte
6)		3); (4); (5)

--Nolessonlearned 19:35, 17. Jul. 2013 (CEST)

Das löst das Problem leider nicht: Du nennst in Schritt 1 einen Punkt Q, damit liegt dieser fest. Erst in Schritt 3 nennst du, dass er zu P und P´´ den gleichen Abstand hat. Hat er aber - wenn nicht zufällig so gezeichnet - gar nicht. Geht echt nicht. --Tutorin Anne 20:06, 17. Jul. 2013 (CEST)


Voraussetzung: Sa∘Sb mit a ∩ b = {S} ∧ a ⊥ b

Behauptung: S ist Mittelpunkt von P͞P"
.
Beweis:
1) Sa∘Sb(P) = P"
Begründung: Eigenschaft d. PS; Voraussetzung

2) Sa∘Sb(S) = S" = S
Begründung: Eigenschaft d. PS; Voraussetzung; S ist Fixpunkt

2b) Drehe a⊥b so, dass P ∈ a und S fest
Begründung: (2); Eigenschaft d. Drehung

3) |PS| + |SP"| = |PP"| mit koll(P,S,P")
Begründung: (1); (2); (2b); Def. Zwischen

4) |PS| = |SP"|
Begründung: (3); Streckentreue d. GS

5) S ist Mittelpunkt von P͞P"
Begründung: (3); (4); Def. Mittelpunkt
--Nolessonlearned 13:26, 18. Jul. 2013 (CEST)

• Der Beweis sieht korrekt aus, ist es aber nicht. Denn Schritt 3 kannst du nicht aus den vorrigen Schritten oder aus der Zwischenrelation herleiten. Du kannst also nicht begründen, dass die Punkte kollinear sind. Dazu musst du das Achsenkreuz drehen, wie es unten im Beweis Schritt 1 entspricht. Dann est kann begründet weden, dass die Punkte kollinear sind. Und wie? --Tutorin Anne 21:09, 18. Jul. 2013 (CEST)
  
  
• Ok, ich verstehe. Wüstenfuchs hat die Spiegelachse a verwendet. Ist elegant und schnell. Könnte man theoretisch eine weitere Gerade einfügen, welche die Punkte P,S,P(zweistrich) enthält und diese zur Beweisführung verwenden?--Nolessonlearned 22:10, 18. Jul. 2013 (CEST)
  
  • • Nein, das geht nicht. Nur bei der Gerade b weiß ich, dass es eine Fixgerade bezüglich Spiegelung an a ist (da a senkrecht b) und P deshalb wieder auf die GErade gespiegelt wird. Bei allen anderen Geraden weiß ich das nicht. --Tutorin Anne 11:03, 19. Jul. 2013 (CEST)
      
      • Ich dachte, dass bei einer Punktspiegelung jede Gerade, die durch S verläuft eine Fixgerade ist. Diese wäre doch dann ebenfalls für die Beweisführung geeignet. --Nolessonlearned 11:46, 19. Jul. 2013 (CEST)
        
        • Da hast du absolut recht, aber eben genau das soll in diesem Beweis gezeigt werden. --Tutorin Anne 12:24, 19. Jul. 2013 (CEST)
          
          • OK--Nolessonlearned 12:34, 19. Jul. 2013 (CEST)
            

Beweis von Wüstenfuchs

Voraussetzung	a⊥b ∧ a∩b = {S} ∧ Sa∘Sb(P)= P``
Behauptung	IPSI = ISP``I (das ist nicht die komplette Behauptung; s.Anmerkung oben.)

Nr.	Beweisschritt	Begründung
1	Drehe a⊥b so das P $\in$ a und S fest	Vor. ; Def. Punktspiegelung ; IX.3 (oder Eigenschaft der Punktspiegelung)
2	Sa(P) = P' = P	1.) ; Def. Geradenspiegelung
3	Sb(P') = P`` mit P`` $\in$ a	2.) ; a ist Fixgerade bezüglich der $S_{b}$
4	IPSI = ISP``I	3.) ; Def. Geradenspiegelung
4b	$S \in \overline{PP''}$	...
5	S = Mittelpunkt IPP``I Keine Betragstriche!! besser: S ist Mittelpunkt von $\overline{PP''}$	4.)+4b) ; Def. Mittelpunkt

--Wüstenfuchs 20:42, 15. Jul. 2013 (CEST)
Der Beweis ist fast korrekt. Auch hier fehlt die Begründung, dass S auch Element der Strecke PP´´ ist, weil er nur dann Mittelpunkt von PP`` ist. Optimalerweise dafür noch ein Extraschritt einbauen, oder aber die Begründung in 5) ergänzen. --Tutorin Anne 14:13, 16. Jul. 2013 (CEST)