Lösung von Aufgabe 10.4P (SoSe 13)

Beweisen Sie Satz IX.3: Bei einer Punktspiegelung ist der Schnittpunkt S der beiden Spiegelgeraden a und b Mittelpunkt der Strecke $\overline{PP''}$, mit $P''=S_a\circ S_b(P)$.

Voraussetzung:
a ∩ b = {S} ∧ a ⊥ b --Nolessonlearned 18:24, 13. Jul. 2013 (CEST)

Behauptung:
S ist Mittelpunkt von P͞,P͞``
mit P``= Sa∘Sb(P) --Nolessonlearned 18:24, 13. Jul. 2013 (CEST)

	Beweisschritt	Begründung
1)	∃m: m ∩ a ∩ b = {S} mit m ≠ a,b	Voraussetzung; Konstruktion der Gerade m
2)	Es existiert Q Element von m: Q͞P kongruent Q͞P͞``	(1); Mittelsenkrechtenkriterium
3)	m senkrecht P͞P͞``	(2); Def. Mittelsenkrechte
4)	PP'| = |PS| + |SP'|	Def. Zwischen
5)	S ist Mittelpunkt von P͞P͞``	(1); (2); (3); (4); Voraussetzung

--Nolessonlearned 18:24, 13. Jul. 2013 (CEST)

Voraussetzung	a⊥b ∧ a∩b = {S} ∧ Sa∘Sb(P)= P``
Behauptung	IPSI = ISPI

Nr.	Beweisschritt	Begründung
1	Drehe a⊥b so das P $\in$ a und S fest	Vor. ; Def. Punktspiegelung ; IX.3
2	Sa(P) = P' = P	1.) ; Def. Geradenspiegelung
3	Sb(P') = P`` mit P`` $\in$ a	2.) ; a ist Fixgerade Sb
4	IPSI = ISP``I	3.) ; Def. Geradenspiegelung
5	S = Mittelpunkt IPP``I	4.) ; Def. Mittelpunkt

--Wüstenfuchs 20:42, 15. Jul. 2013 (CEST)