Lösung von Aufgabe 10.4P (SoSe 13)
Beweisen Sie Satz IX.3:
Bei einer Punktspiegelung ist der Schnittpunkt S der beiden Spiegelgeraden a und b Mittelpunkt der Strecke , mit .
Voraussetzung:
a ∩ b = {S} ∧ a ⊥ b --Nolessonlearned 18:24, 13. Jul. 2013 (CEST)
Behauptung:
S ist Mittelpunkt von P͞,P͞``
mit P``= Sa∘Sb(P) --Nolessonlearned 18:24, 13. Jul. 2013 (CEST)
Beweis von Nolessonlearnd
Beweisschritt | Begründung | |
---|---|---|
1) | ∃m: m ∩ a ∩ b = {S}
mit m ≠ a,b |
Voraussetzung;
Konstruktion der Gerade m |
2) | Es existiert Q Element von m: Q͞P kongruent Q͞P͞`` | (1); Mittelsenkrechtenkriterium |
3) | m senkrecht P͞P͞`` | (2); Def. Mittelsenkrechte |
4) | PS| = |SP'| | (3); Mittelsenkrechtenkriterium |
5) | S ist Mittelpunkt von P͞P͞`` | (1); (2); (3); (4); Voraussetzung |
Kreative Beweisidee. Zwei Probleme fallen mir auf:
1. Du kannst nicht erst die GErade m konstruieren (dann ist sie bereits fest) und sie dann später als Mittelsenkrechte deuten. (Schritt 2 und 3) - > Diese Schwierigkeit lässt sich leicht beheben.
2. Du kannst nicht in Schritt 5 sagen, dass S Mittelpunkt von PP´´ ist, da dafür laut Def. Mittelpunkt zwei Dinge erfüllt sein müssen: 1. und . Ersteres hast du noch nicht gezeigt. --Tutorin Anne 14:04, 16. Jul. 2013 (CEST)
Beweis von Wüstenfuchs
Voraussetzung | a⊥b ∧ a∩b = {S} ∧ Sa∘Sb(P)= P`` |
Behauptung | IPSI = ISP``I |
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
1 | Drehe a⊥b so das P a und S fest | Vor. ; |
2 | Sa(P) = P' = P | 1.) ; Def. Geradenspiegelung |
3 | Sb(P') = P`` mit P`` a | 2.) ; a ist Fixgerade bezüglich der |
4 | IPSI = ISP``I | 3.) ; Def. Geradenspiegelung |
4b | ... | |
5 | |
4.)+4b) ; Def. Mittelpunkt |
--Wüstenfuchs 20:42, 15. Jul. 2013 (CEST)
Der Beweis ist fast korrekt. Auch hier fehlt die Begründung, dass S auch Element der Strecke PP´´ ist, weil er nur dann Mittelpunkt von PP`` ist. Optimalerweise dafür noch ein Extraschritt einbauen, oder aber die Begründung in 5) ergänzen. --Tutorin Anne 14:13, 16. Jul. 2013 (CEST)