Lösung von Aufgabe 12.2P (SoSe 13)
Zeigen Sie, dass die Verkettung dreier Punktspiegelungen wieder eine Punktspiegelung ist.
- Ich habe eine Frage dazu: Wir haben in der Vorlesung uns aufgeschrieben dass es 3 Möglichkeiten geben kann: a II b II c
oder a geschnitten b geschnitten c = (S) oder a II b und c ist nicht parallel zu a
--> Welchen Fall muss ich jetzt betrachten? Oder reicht es aus wenn ich sage, dass die Verkettung dreier P.spiegelungen wieder eine Pkt. ist mit der Begründung VERSCHIEBUNG?--Blumenkind 13:41, 13. Jul. 2013 (CEST)Blumenkind 13:39, 13. Juli
- Hallo Blumenkind. Ich glaube, dass du Punktspiegelung mit Geradenspiegelung verwechselst. Die drei Möglichkeiten der Verkettung beziehen sich auf Geradenspiegelungen. D.h. es werden Geradenspiegelungen miteinander verkettet. In dieser Aufgabe werden drei Punktspiegelungen miteinander verkettet. Lies dir mal die Definition der Punktspiegelung durch.--Nolessonlearned 15:50, 13. Jul. 2013 (CEST)
Voraussetzung:--Nolessonlearned 15:44, 13. Jul. 2013 (CEST)
Sa∘Sb∘Sc∘Sd∘Se∘Sf
mit Sa∘Sb ≔ D(M,180), a ∩ b = {M}, a ⊥ b
mit Sc∘Sd ≔ D(N,180), c ∩ d = {N}, c ⊥ d
mit Se∘Sf ≔ D(O,180), e ∩ f = {O}, e ⊥ f
Behauptung:--Nolessonlearned 15:44, 13. Jul. 2013 (CEST)
Sb``∘Sf mit b``⊥ f
| Beweisschritt | Begründung | |
|---|---|---|
| 1) | Sa'∘Sb' mit D(M,180),
a' ⊥ b' ∧ b' || c |
Eigenschaft d. Punktspiegelung; Voraussetzung |
| 2) | Sc'∘Sd' ≔ D(N,180),
c' ⊥ d' ∧ c' || b' ∧ d' = a' (Identität) |
(1); Eigenschaft d. Punktspiegelung;
Voraussetzung; Def. involutorische Abbildung |
| 3) | Sb``∘Sc'
mit b`` || c' ∧ c' = e (Identität) |
(1); (2); Identität, Eigenschaft d. Translation;
Def. involutorische Abbildung |
| 4) | Sb``∘Sf ≔ D(O,180)
mit b`` ⊥ f |
(2); (3); Eigenschaft d. Punktspiegelung;
q.e.d. |
