Geradenspiegelungen (2015 16)
Ideen zur Heranführung an die GeradenspiegelungIdee der Symmetrie
Verwendung eines halbdurchlässigen Spiegels
FaltenLeider sind meine Bilder von der Qualität her zu schlecht geworden, als dass sie hier veröffentlicht werden könnten. Wer hilft? --*m.g.* 13:04, 27. Okt. 2011 (CEST) Konstruktion des Bildes eines Punktes
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Nr. | Beschreibung des Schrittes | Genauere Beschreibung | Begründung der Korrektheit des Schrittes |
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1. | Lotgerade von ![]() ![]() |
Fällen des Lotes von ![]() ![]() |
Existenz und Eindeutigkeit des Lotes |
2. | Lotfußpunkt ![]() |
Einzeichnen des Lotfußpunktes ![]() ![]() ![]() ![]() |
... |
3. | ![]() ![]() ![]() |
Die Strecke ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
... |
Bemerkung zum Nachweis der Korrektheit des jeweiligen Schrittes: Gemeint ist eine Begründung, aus der hervorgeht, dass der jeweilige Schritt (ggf. eindeutig) ausführbar ist.
Definition des Begriffs
Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden
)
- Es sei
eine Gerade. Unter der Spiegelung
an der Geraden
versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, die jeden Punkt
der Ebene wie folgt auf sein Bild
abbildet:
- Es sei
-
, falls
-
ist die Mittelsenkrechte von
, sonst.
Geradenspiegelungen als Bewegungen
Satz 2.1
Jede Geradenspiegelung ist eine Bewegung mit genau einer Fixpunktgeraden.
Beweis von Satz 2.1:
Es sind zwei Dinge zu zeigen:
(I) | Jede Geradenspiegelung hat genau eine Fixpunktgerade. |
(II) | Jede Geradenspiegelung ist abstandserhaltend. |
Es seien ,
zwei Punkte, die an der Geraden
auf ihre Bilder
und
durch die Spiegelung an
abgebildet werden.
Wir unterscheiden drei Fälle:
Fall 1:
Fall 2:
Fall 3:
Eindeutige Bestimmtheit von Geradenspiegelungen
Bestimmung über die Spiegelgerade
Unmittelbar einsichtig ist der folgende Satz:
Satz 2.2
- Jede Geradenspiegelung ist durch die Angabe ihrer Spiegelachse eindeutig bestimmt.
- Jede Geradenspiegelung ist durch die Angabe ihrer Spiegelachse eindeutig bestimmt.
Beweis
Satz 2.3
- Eine Geradenspiegelung
ist durch die Angabe eines Punktes
und dem Bild von
eindeutig bestimmt, falls
gilt.
- Eine Geradenspiegelung
Beweis