Lösung von Aufgabe 1.3 (WS 16 17)

Prüfen Sie, welche der folgenden Mengen identisch sind und welche Teilmengenbeziehungen bestehen. Stellen Sie die Teilmengenbeziehungen in einem Venn.Diagramm dar.

$M_1:$ Menge aller gleichschenkligen Dreiecke

$M_2:$ Menge aller gleichseitigen Dreiecke

$M_3:$ Menge aller gleichwinkligen Dreiecke

Lösung von AlanTu anzeigen

Lösung von AlanTu verstecken

$M_2 = M_3 \subset M_1$

$\text{Dreieck ist gleichseitig} \iff \text{Dreieck ist gleichwinklig} \Rightarrow \text{Dreieck ist gleichschenklig}$

Beweis Dreieck ist gleichwinklig ⇒ Dreieck ist gleichseitig

Nach dem Innenwinkelsatz müssen alle drei Innenwinkel addiert $180^\circ$ ergeben. Daraus folgt, dass jeder Winkel in einem gleichwinkligen Dreieck $\frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$ beträgt. Nun kann man nachweisen, dass die Seiten gleich lang sind, indem man im Dreieck $ABC$ die Höhe $h_c$ über $AB$ einträgt. Die Strecke zwischen dem Lotfußpunkt und $A$ wird $d$ genannt, die Strecke zwischen Lotfußpunkt und $B$ wird $e$ genannt. Nun gilt $tan(60^\circ) = \frac{h_c}{d} = \frac{h_c}{e} \Rightarrow d = e$. Dann gilt also auch $cos(60^\circ) = \frac{d}{\overline{AC}} \quad\wedge\quad cos(60^\circ) = \frac{e}{\overline{BC}} \iff \frac{1}{2} = \frac{d}{\overline{AC}} \quad\wedge\quad \frac{1}{2} = \frac{e}{\overline{BC}} \iff 2d = \overline{AC} \quad\wedge\quad 2e = \overline{BC} \iff d+e = \overline{AC} \quad\wedge\quad d+e = \overline{BC} \iff \overline{AB} = \overline{AC} \quad\wedge\quad \overline{AB} = \overline{BC}$.

Beweis Dreieck ist gleichseitig ⇒ Dreieck ist gleichwinklig

Man betrachte wieder die Höhe $h_c$ über der Seite $AB$. Dann gilt in dem Dreieck $sin(\alpha) = \frac{h_c}{\overline{AC}} \quad\wedge\quad sin(\beta) = \frac{h_c}{\overline{BC}} \iff sin(\alpha) = \frac{h_c}{\overline{AC}} \quad\wedge\quad sin(\beta) = \frac{h_c}{\overline{AC}} \iff sin(\alpha) = sin(\beta)$. Da sowohl $\alpha$ als auch $\beta$ zwischen $0^\circ \text{ und } 90^\circ$ liegen (in einem rechtwinkligen Dreieck sind alle Winkel $\leq 90^\circ \text{ und } \geq 0^\circ$), kann man daraus schließen, dass $\alpha = \beta$ gilt. Wenn man dieses Vorgehen für alle drei Höhen wiederholt, kann man also zeigen, dass $\alpha = \beta = \gamma$ im gleichseitigen Dreieck gilt.

Beweis Dreieck ist gleichseitig ⇒ Dreieck ist gleichschenklig

Ein gleichseitiges Dreieck ist per definitionem immer auch gleichschenklig. Ein gleichseitiges Dreieck hat nämlich drei gleich lange Seiten, ein gleichschenkliges erfordert nur zwei.

Venn-Diagramm

(Die Schwarzfärbung von Teilmengen bedeutet, dass diese Teilmengen keine Elemente enthalten, also leere Mengen ($\emptyset$) sind.)

--AlanTu (Diskussion) 15:24, 21. Okt. 2016 (CEST)

Hallo AlanTu, 

deine Lösung bezüglich der Beziehungen der Mengen ist richtig und auch die Beweise dazu sind schlüssig, super ;)
Das Venn-Diagramm ist jedoch nicht ganz richtig.
Da es sich um eine echte Teilmengenbeziehung zwischen den gleichseitigen/gleichwinkligen Dreiecken und den gleichschenkligen Dreiecken handelt, 
muss der erste Kreis komplett im zweiten eingebettet sein. Da es sich ja um eine Äquivalenz bzgl. den gleichseitigen und gleichwinkligen Dreiecken 
handelt müssen folglich auch beide gezeichnete Kreis gleich sein. 

Gruß Alex