Auftrag der Woche 4 (WS 16 17)

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Die Lösung ist korrekt, die Skizze aus didaktischer Sicht suboptimal. Generieren Sie mit Geogebra eine dynamische Applikation, die die korrekte Lösung besser als die obige Skizze unterstützt.

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Lösung von AlanTu

Wenn man den Haken bei „Spur“ setzt, erscheint nach und nach die Mittelsenkrechte.

Konstruktionsbeschreibung

Gegeben seien zwei Punkte $A$ und $B$. Gesucht ist $M:=\{Q|\overline{AQ}\cong\overline{QB}\}$.

Sei $r\in\mathbb{R}$ fest aber beliebig.

1. Zeichne einen Kreis $c_r$ mit Radius $r$ um $A$ (die Menge der Punkte mit Abstand $r$ von $A$).
2. Zeichne einen Kreis $d_r$ mit Radius $r$ um $B$ (die Menge der Punkte mit Abstand $r$ von $B$).
3. Bestimme $M_r$ (die Menge der Punkte mit Abstand $r$ sowohl von $A$ als auch von $B$) folgendermaßen:
   1. Falls kein Schnittpunkt von $c$ und $d$: Es sei $M_r=\{\}$.
   2. Falls ein Schnittpunkt von $c$ und $d$: Nenne den Schnittpunkt $Q$, es sei $M_r=\{Q\}$.
   3. Falls zwei Schnittpunkte von $c$ und $d$: Nenne die beiden Schnittpunkte $Q_r^1$ und $Q_r^2$, es sei $M_r=\{Q_r^1,Q_r^2\}$.

$M$ ergibt sich nun aus der Vereinigung aller $M_r$ für $r\in\mathbb{R}$, also: $M = \bigcup\limits_{r\in\mathbb{R}}{M_r}$

Begründung, warum die Menge genau die Mittelsenkrechte ist

Betrachtet man nun $r=\frac{\overline{AB}}{2}$: $Q$ ist der Mittelpunkt von $A$ und $B$, da er den selben Abstand von beiden Punkten hat.

Betrachtet man nun $r\in\mathbb{R} \wedge r > \overline{QA}$:

• Das Viereck $AQ_r^1BQ_r^2$ bildet eine Raute mit Seitenlänge $r$.
• Da die Diagonalen der Raute sich sowohl halbieren, als auch senkrecht aufeinander stehen, liegen $Q_r^1$ und $Q_r^2$ auf der Mittelsenkrechten von $A$ und $B$.
• Nach dem Satz des Pythagoras ergibt sich $\overline{QQ_r^1} = \overline{QQ_r^2} = \sqrt{r^2 - \overline{QA}^2}$ und da $f(r)=\sqrt{r^2 - \overline{QA}^2}$ für $r > \overline{QA}$ genau einen Wertebereich von $(0,\infty)$ besitzt, ergibt die Vereinigung aller $M_r$ genau die Mittelsenkrechte von $A$ und $B$ ohne den Mittelpunkt von $A$ und $B$.

Nimmt man also beide Fälle zusammen ergibt sich genau die komplette Mittelsenkrechte von $A$ und $B$.

Lösung von Tutor Alex

Nachtrag: Falls die GeoGebra Datei hier nicht angezeigt wird, klicke hier.

2. Lösung von AlanTu

Konstruiere nach folgender Konstruktionsanleitung jeweils für jeden Winkel $0\leq\alpha<180^\circ$ jeweils einen Punkt $Q$:

• Wähle zwei Punkte $A'$ und $B'$ beliebig, sodass gilt: $\measuredangle{A'BA} = \measuredangle{BAB'} = \alpha$.
• Bestimme den Schnittpunkt $Q$ der Geraden $AB'$ und $BA'$.
• Die Punkte $A$, $B$ und $Q$ bilden dann ein gleichschenkliges Dreieck mit Basis $AB$.

Die Menge aller so konstruierten Punkte $Q$ ist genau $M$, da es genau dann ein solches gleichschenkliges Dreieck gibt, wenn $Q$ den selben Abstand von $A$ und $B$ hat. Dass die Menge ebenfalls gleich der Mittelsenkrechten von $A$ und $B$ ist, lässt sich leicht einsehen, wenn man weiß, dass die Höhe über der Basis von gleichschenkligen Dreiecken immer auf der Mittelsenkrechten der Basis liegt.