Serie 1 SoSe 2017

Aufgabe 1.01 SoSe 2017

Es seien $a$ und $b$ zwei reelle Zahlen. Definieren Sie den Begriff arithmetisches Mittel von $a$ und $b$.
Lösung von Aufgabe 1.01 SoSe 2017

Aufgabe 1.02 SoSe 2017

Es seien $a$ und $b$ zwei natürliche Zahlen. Definieren Sie den Begriff größter gemeinsamer Teiler (ggT) von $a$ und $b$.
Lösung von Aufgabe 1.02 Sose 2017

Aufgabe 1.03 SoSe 2017

Informieren Sie sich darüber, was man unter der Gärtnerkonstruktion einer Ellipse versteht. Entwickeln Sie eine Definition des Begriffs Ellipse, wie er sich unmittelbar aus der Gärtnerkonstruktion ergibt.
Lösung von Aufgabe 1.03 SoSe 2017

Aufgabe 1.04 SoSe 2017

Mark definiert den Begriff des Rechtecks wie folgt:

Definition

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Ein Rechteck ist ein Viereck, das einen rechten Innewinkel hat und bei dem die gegenüberliegenden Seiten parallel und gleichlang zueinander sind.

Diskutieren Sie, ob die Eigenschaft der Minimalität für Marks Definition gewährleistet ist.
Lösung von Aufgabe 1.04 SoSe 2017

Aufgabe 1.05 SoSe 2017

Der Begriff der Parallelität zweier Geraden sei bereits definiert. Definieren Sie, was man darunter versteht, dass zwei Geraden windschief zueinander sind.
Lösung von Aufgabe 1.05 SoSe 2017

Aufgabe 1.06 SoSe 2017

In der Differentialgeometrie ist der Begriff der Krümmung einer Kurve von zentraler Bedeutung. Kreise sind Kurven mit konstanter Krümmung, d.h. ein Kreis hat in jedem seiner Punkte dieselbe Krümmung. Je größer ein Kreis $k$ ist, desto mehr nähern sich hinreichend kleine Teilstücke des Kreises Geradenstücken an. Je größer ein Kreis ist, desto geringer ist somit seine Krümmung. Geraden sind auch Kurven konstanter Krümmung, Jede Gerade hat in jedem ihrer Punkte die Krümmung $0$. Geraden könnte man als Kreise mit unendlich großem Radius auffassen. Entwerfen Sie eine sinnvolle Definition des Begriffes Krümmung eines Kreises.
Hinweis: Krümmungen werden durch reele Zahlen angegeben.
Lösung von Aufgabe 1.06 SoSe 2017

Aufgabe 1.07 SoSe 2017

Sie wollen Ihre Schüler erleben lassen, dass Kreise Kurven mit konstanter Krümmung sind. Wie machen Sie das?
Lösung Aufgabe 1.07 SoSe 2017

Aufgabe 1.08 SoSe 2017

Ellipsen lassen sich auch als Kegelschnitte definieren. Es sei $K$ ein Kegel mit dem Öffnungswinkel $\alpha$ und der Spitze $S$. Seine Rotationsachse $R$ möge senkrecht auf der Ebene $\varepsilon_0$ stehen. Es sei $\varepsilon$ eine zweite Ebene, die $K$ schneidet.
Ergänzen Sie:

Definition

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Wenn ... , dann ist der Schnitt von $\varepsilon$ mit $K$ eine Ellipse.

Lösung Aufgabe 1.08 soSe 2017

Aufgabe 1.09 SoSe 2017

Was wird hier definiert?

Definition

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Es sei $r$ ein positive reelle Zahl. $M:=\left\{(r\cdot\cos(\varphi)|r\cdot\sin(\varphi)|\varphi \in \mathbb{R}, 0 \leq \varphi < 2\pi\right\}$.

Lösung von Aufgabe 1.09 SoSe 2017

Aufgabe 1.10 SoSe 2017

Diskutieren Sie die folgende Definition:

Definition

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Es sei $K$ ein kartesisches Koordinatensystem. Unter einer Size-Zero-Menge versteht man die Menge aller Punkte $P\left(x_p|y_p\right)$ mit $x_p <0 \wedge y_p=\sqrt{x_p}$.

Lösung von Aufgabe 1.10 SoSe 2017