Was ist eine Gruppe? SoSe 2017

Beispiele für Gruppen endliche Gruppen Die Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks Die Gruppe der Deckabbildungen der Raute Gegenbeispiele für Gruppen Gruppendefinitionen Die "übliche" Gruppendefinition (lange Version) Definition Es sei $G$ eine nichtleere Menge auf der eine Verknüpfung $\odot$. Wenn die folgenden Axiome erfüllt sind, heißt die Struktur $\mathbb{G}:=[G, \odot ]$ Gruppe: $\odot$ ist auf $G$ abgeschlossen: $\forall a,b \in G: a \odot b \in G$ $\odot$ ist assoziativ auf $G$: $\forall a, b, c \in G: (a \odot b) \odot c = a \odot (b \odot c)$ Bezüglich $\odot$ existiert in $G$ ein ("universelles") Einslement $e$: $\exist e \in G \forall a \in G: a \odot e = e \odot a= a$. Bezüglich $\odot$ existiert zu jedem $a$ aus $G$ ein ("persönliches") inverses Element $a^{-1}$: $\forall a \in G \exist a^{-1} \in G: a \odot a^{-1} = a^{-1} \odot a = e$.