Beispiele für Gruppen
endliche Gruppen
Die Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks
Die Gruppe der Deckabbildungen der Raute
unendliche Gruppen
Gebrochene Zahlen:
Ganze Zahlen:
Gegenbeispiele für Gruppen
Gruppendefinitionen
Die "übliche" Gruppendefinition (lange Version)
Die "übliche" Gruppendefinition (kurze Version)
Das Linkseinslement ist auch Rechtseinslement
Die lange Version der Gruppendefinition fordert, dass wenn das Einselement sowohl rechtsseitig als auch linksseitig multipliziert mit einem beliebigen Gruppenelement multipliziert eben dieses Element das Ergebnis dieser Multiplikation ist. Die kurze Version der Gruppendefinition fordert nur die Existenz eines linksseitigen Einslementes. In der Tat ist die Korrektheit der Gruppendefinition gewährleistet, wenn die Existenz des Einselementes nur linksseitig (oder rechtsseitig) gefordert wird.
Gleiches gilt für die Forderung nach der Existenz linksseitiger bzw. rechtsseitiger inverser Elemente.
Es gilt der Satz:
Satz 1
- Wenn in einer Halbgruppe ein linksseitiges Einselement und zu jedem Element der Halbgruppe ein linksseitiges inverses Element existiert, so sind dieses Linkseinselement und diese Linksinversen gleichzeitig Rechtseinselement und Rechtsinverse.
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