Lösung von Aufgabe 1.5 Algebra SoSe 2017

Aufgabe 1.5 Algebra SoSe 2017 Beweisen Sie: In jeder Gruppe gilt: Das Linksinverse Element eines Gruppenelements $g$ ist gleich dem Rechtsinversen von $g$. Lösung Aufgabe 1.5 Algebra SoSe 2017 Übungsaufgabe, Hinweise Beginnen Sie mit Linksinvers=Rechtsinvers Multiplizieren Sie zunächst das Linksinverse $g^{-1}$ eines beliebigen Elementes $g$ von rechts mit $g$:$g \odot g^{-1}$ Ersetzen Sie $g$ durch $e \odot g$ Ersetzen Sie $e$ durch das Produkt des Linksinversen vom Linksinversen von $g$ mit dem Linksinversen von $g$: $(g^{-1})^{-1} \odot g^{-1}$. Der Rest ist geschicktes Klammern und Ausnutzung der Assoziativität... Beweis: Es sei $g^{-1}$ das Linksinverse von $g$. Wir muliplizieren $g^{-1}$ von rechts mit $g$: (I) $g \cdot g^{-1}$ (II) $g \cdot g^{-1}= e \cdot g \cdot g^{-1}$ Wissen: Auch $g^{-1}$ hat ein Linksinverses: $(g^{-1})^{-1}$ Ersetzen $e$ durch $(g^{-1})^{-1}\cdot g^{-1}$ (III) $g \cdot g^{-1}= (g^{-1})^{-1}\cdot g^{-1} \cdot g \cdot g^{-1}$ (IV) geschicktes Klammern: $g \cdot g^{-1}= (g^{-1})^{-1}\cdot (g^{-1} \cdot g) \cdot g^{-1}$ (V) Klammer berechnen:$g \cdot g^{-1}= (g^{-1})^{-1}\cdot e \cdot g^{-1}$ (VI) Mit $e$ multiplizieren ist geschenkt ... $g \cdot g^{-1}= (g^{-1})^{-1}\cdot g^{-1}$ (VII) $(g^{-1})^{-1}\cdot g^{-1}$ bedeutet, das Linksinverse vom Linksinversen von $g$ mieinander multiplizieren. (VII) also $(g^{-1})^{-1}\cdot g^{-1}=e$ (IX) und damit $g \cdot g^{-1}= (g^{-1})^{-1}\cdot g^{-1}=e$ (X) oder einfach: $g \cdot g^{-1}=e$ und damit: Das Linksinverse $g^{-1}$ von $g$ ist auch sein Rechtsinverses.