Aufgabe 1.5 Algebra SoSe 2017
Beweisen Sie: In jeder Gruppe gilt: Das Linksinverse Element eines Gruppenelements ist gleich dem Rechtsinversen von .
Lösung Aufgabe 1.5 Algebra SoSe 2017
Übungsaufgabe, Hinweise
- Beginnen Sie mit Linksinvers=Rechtsinvers
- Multiplizieren Sie zunächst das Linksinverse
eines beliebigen Elementes von rechts mit :
- Ersetzen Sie
durch
- Ersetzen Sie
durch das Produkt des Linksinversen vom Linksinversen von mit dem Linksinversen von : .
- Der Rest ist geschicktes Klammern und Ausnutzung der Assoziativität...
Beweis:
Es sei das Linksinverse von .
Wir muliplizieren von rechts mit :
(I) ![g \cdot g^{-1}](/images/math/0/a/c/0acda0f91d15ab40ff5bb1e704747a14.png)
(II) ![g \cdot g^{-1}= e \cdot g \cdot g^{-1}](/images/math/0/0/5/005e78b2d0a61b24ae7dfaac9db2899e.png)
Wissen: Auch hat ein Linksinverses: ![(g^{-1})^{-1}](/images/math/7/9/f/79f388fad0a55b22b7f428460c9adbe3.png)
Ersetzen durch ![(g^{-1})^{-1}\cdot g^{-1}](/images/math/f/1/c/f1cf45f60069e74225a4f225e829fdde.png)
(III) ![g \cdot g^{-1}= (g^{-1})^{-1}\cdot g^{-1} \cdot g \cdot g^{-1}](/images/math/4/d/7/4d7f3a612a878021581f34590e992b07.png)
(IV) geschicktes Klammern: ![g \cdot g^{-1}= (g^{-1})^{-1}\cdot (g^{-1} \cdot g) \cdot g^{-1}](/images/math/1/d/8/1d855bdb0066fcf2c8dc378cddb1b5d9.png)
(V) Klammer berechnen:![g \cdot g^{-1}= (g^{-1})^{-1}\cdot e \cdot g^{-1}](/images/math/5/b/a/5ba321d535777c4145586c0c18cad4d6.png)
(VI) Mit multiplizieren ist geschenkt ... ![g \cdot g^{-1}= (g^{-1})^{-1}\cdot g^{-1}](/images/math/0/5/a/05a865bf9e14166e019e67f4b32d334f.png)
(VII) bedeutet, das Linksinverse vom Linksinversen von mieinander multiplizieren.
(VII) also
(IX) und damit
(X) oder einfach: und damit: Das Linksinverse von ist auch sein Rechtsinverses.
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