Strecken
Definition
Definition: (Strecke )
- Es seien
und zwei beliebige Punkte. Unter der Strecke versteht man die folgende Punktmenge: .
Bemerkung
Im Gegensatz zur Definition des Begriffs Strecke in der Einführung in die Geometrie lassen wir hier zu, dass die Punkte und identisch sind. Der Grund hierfür liegt in der Notwendigkeit der Existenz des Nullvektors im Vektorraum der Pfeilklassen.
gerichtete Strecken bzw Pfeile
Definition: (gerichtete Strecke )
- Es sei
eine Strecke. Wir fassen die Endpunkte zu einem geordneten Paar zusammen und nennen Anfangspunkt und Endpunkt. Die gerichtete Strecke bzw.der Pfeil ist eine Strecke mit einem Anfangs und einem Endpunkt.
Pfeilklassen
Definition: (Pfeilgleichheit)
- Zwei Pfeile
und stehen in der Relation pfeilgleich zueinander, wenn ein Parallelogramm ist. In Zeichen:
Satz: (Pfeilgleichheit ist ÄR)
- Die Relation Pfeilgleichheit ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Pfeile.
Beweis: Übungsaufgabe
Definition: (Pfeilklasse)
- Eine Pfeilklasse ist eine Äquivalenzklasse nach der Relation pfeilgleich.
- Die Menge alle Pfeilklassen bezeichnen wir mit
![\overrightarrow{\mathbb{P}}](/images/math/f/9/3/f930d4ae8dd335c6dea6427ee3ad00c3.png)
Hinweis: Jede Pfeilklasse ist durch Angabe eines ihrer Repräsentanten eindeutig bestimmt. Ob wir mit den Peil oder die gesamte Pfeilklasse meinen, ergibt sich jeweils aus dem Kontext. Vergleichen Sie mit dem Gebrauch von Brüchen zur Bezeichnung von Bruchzahlen. Bei der Verwendung von kleinen lateinischen Buchstaben zur Bezeichnung von Pfeilen und Pfeilklassen trennen wir: meint einen bestimmten Pfeil und bezeichnet die Pfeilklasse, die durch eindeutig bestimmt ist.
Addition von Pfeilklassen
Definition: (Addition von Pfeilklassen)
- Es seien
und zwei Pfeilklassen. Die Addition ist wie folgt definiert: Es seien und .
ist die Pfeilklasse, die durch den Pfeil eindeutig bestimmt ist.
Satz: (Wohldefiniertheit der Operation
- Die Operation
auf der Menge der Pfeilklassen ist repräsentantenunabhängig.
Beweis : ÜA
Die Pfeilklasse ![\overrightarrow{o}](/images/math/f/e/6/fe6651c1ffb93113ab39d9b866768b56.png)
Definition: ( )
ist die Pfeilklasse, in der alle Pfeile liegen, deren Anfangspunkt mit ihrem Endpunkt identisch sind.
Die Gruppe der Pfeilklassen
Satz:: (Gruppe der Pfeilklassen)
- Die Struktur
ist eine abelsche Gruppe:
- Abgeschlossenheit:
- Assoziativität:
- Neutrales Element:
- Inverse Elemente:
- Kommutativität:
.
Beweis: Übungsaufgabe
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